Archimède, limites, le périmètre du cercle et le nombre Pi

Enoncé

Archimède était un grand scientifique Grec né en Sicile à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort à Syracuse en 212 av. J.-C lors du siège de la ville, tué par un soldat Romain. Il investit beaucoup d'énergie et de temps à rechercher la valeur exacte d'un nombre que nous appelons aujourd'hui Pi (Π).
Nous allons nous baser sur ses travaux ainsi que sur les travaux de Taylor (1685-1731, Anglais) et de Mac Laurin (1698-1746, Ecossais) pour retrouver la formule du périmètre du cercle :

Périmètre_cercle = 2ΠR

R étant le rayon du cercle.

L'idée de base d'Archimède était la suivante : si vous inscrivez un polygone régulier à n côtés dans un cercle et si n tend vers l'infini, alors votre polygone se confond avec le cercle dans lequel il est inscrit.

Nous vous demandons à présent d'utiliser l'idée d'Archimède ainsi que le développement en série de Taylor et de Mac Laurin (voir ci-dessous) pour montrer que la formule du périmètre du cercle est bien périmètre = 2ΠR.

Astuce : Développement en série de Mac Laurin

Le développent en série de Mac Laurin nous apprend que le sinus de x peut s'exprimer de la manière suivante :

Sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + x⁹/9! - x¹¹/11! + ...

Attention, l'unité de l'angle x doit être en radian !

Rappel : Le factoriel de 7 s'écrit 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

2020-05-22 19:53:48