Introduction

La dérivée est très importante car on s’en sert tout le temps dans les études de fonction.
L’avantage c’est qu’il n’y a pratiquement que des formules à apprendre, et une fois que tu les connais, c’est extrêmement simple !!

La dérivée, qu’est-ce-que c’est ?

Quand on a une fonction f, on peut calculer une autre fonction que l’on note f ‘ (à prononcer f prime), et qu’on appelle la dérivée. Nous verrons plus tard l’utilité de f ‘.
L’objectif est tout d’abord de savoir comment calculer cette dérivée f ‘ à partir de la fonction f.
Pour cela c’est très simple : on apprend les formules !!

Formules de dérivées

Nous allons te donner un tableau en 2 colonnes, la fonction f à gauche et sa dérivée à droite.
Tu peux apprendre par coeur dès le début ce tableau, mais avec l’habitude et beaucoup d’exercices ça te semblera logique et évident

Tableau des dérivées

ans le tableau, ce qu’on appelle constante, c’est un réel, qui ne dépend pas de x, comme 27 ; â…” ; 36,7 ou -8,44

Prenons un exemple :
Si f(x) = x², alors d’après la formule du tableau, on a f ‘(x) = 2x, tout simplement !

La seule formule qui peut te poser problème est celle de xⁿ.
En fait c’est la formule valable pour toutes les puissances de x : x⁵, x⁹, x⁹⁶⁵, et même les puissances négatives comme x^-5 ou x^-12

Somme de fonctions et constantes multiplicatives

Et si on a une somme de fonctions ?
C’est facile, on dérive les uns après les autres !

Exemple :

La dérivée de x⁵ est 5x⁴, la dérivée de x² est 2x, la dérivée de 12 est 0 car 12 est une constante. On a alors :

Comme tu le vois c’est tès simple, on dérive tranquillement chaque terme, il faut juste faire attention à mettre le bon signe à chaque fois (+ ou -).

Et les constantes multiplicatives ?
Ce qu’on appelle constante multiplicative, ce sont les réels qui sont liés aux x.
Par exemple dans

le 7 et le 8 sont des constantes multiplicatives, car elles sont liées à des x, tandis que le 5 est une constante tout court, il n’y a pas de x avec lui.

Alors comment fait-on ?
Là aussi c’est très simple, dans la dérivée tu réécris la constante multiplicative et tu dérives tranquillement le reste.

Exemple :

la dérivée de x⁵ est 5x⁴, on a donc

Comme tu le vois, on a réécris le 9 et on a ensuite dérivé le x⁵.
Evidemment après on calcule 9 × 5, on ne laisse surtout pas le 9 × 5x⁴ comme ça

Bien sûr on peut avoir des sommes de fonctions avec des constantes multiplicatives :

Et tout naturellement, on dérive chaque terme en recopiant le constante multiplicative à chaque fois :

Il n’y a aucune difficulté à ce niveau-là, tout semble très logique.

Produits et quotients

Par contre quand on a des produits ou des quotients de fonctions, ça devient un peu différent

Généralement on appelle les 2 fonctions u et v, les formules sont alors les suivantes :

 

Des exemples s’imposent…

Prenons

On a bien u × v avec u = 2x + 1 et v = x² – 9
Il est alors recommandé d’écrire u, v, u’ et v’ de la manière suivante :
u = 2x + 1     u’ = 2
v = x² – 9     v’ = 2x

Il ne reste plus alors qu’à appliquer la formule en remplaçant u, v, u’ et v’ !!!

Comme tu le vois il n’y a aucune difficulté du moment que tu connais la formule !
L’intérêt d’écrire u, u’, v et v’ sous la forme d’un petit tableau comme au-dessus te permet d’avoir les différentes parties regroupées.
Ainsi, après avoir écrit la formule u’v + uv’, ce sera beaucoup plus facile quand tu remplaceras.

Pour te souvenir de la formule, voici un moyen simple : dis-toi « je dérive le 1er et je laisse le 2ème (ce qui te donne u’v), puis je fais l’inverse, je laisse le 1er et jé dérive le 2ème (ce qui donne uv’) ».

—
ATTENTION !! Il ne faut surtout pas dire que (u × v)’ = u’ × v’.
En gros il ne faut pas dériver bêtement chaque terme, il faut bien appliquer la formule !!
—

Pour les quotients c’est exactement la même chose, on applique la formule après avoir fait le petit tableau :

u = 5x + 1             u’ = 5
v = x⁶ + 5x – 2     v’ = 6x⁵ + 5
Et on applique la formule :

Et là il faut retenir quelque chose de très important : ON NE DEVELOPPE JAMAIS LE DENOMINATEUR !!
La raison principale c’est : à quoi ça sert de développer ?? 
En effet, rien ne va se simplifier… au numérateur en revanche, on va avoir des termes qui vont se simplifier :

Une fois de plus, une fois que tu connais les formules, il n’y a aucun souci !!

Les dérivées de fonctions composées

Déjà, une fonction composée, c’est quoi ?
Et bien ce sont tout simplement 2 fonctions qui sont regroupées ensemble !

Exemple : au lieu d’avoir

on a

Cette 2ème fonction est une fonction composée, puisqu’il y a 2 fonctions « imbriquées », à savoir :

Deux autres exemples : au lieu d’avoir

on a

et au lieu d’avoir

on a

Généralement, la fonction « à l’intérieur » de l’autre (dans le 1er exemple, 8x² – 5x + 4, dans le 2ème exemple 8x⁶ +4x⁷ – 6x, dans le 3ème exemple 5x⁹ – 2x + 6) est notée u.
Ainsi, la formule générale des fonctions composées est entre autres :

etc…

Pour dériver ce type de fonctions, c’est extrêmement simple !!

On dérive comme si c’était un x et non un u, et on multiplie toujours par u’ !!
Regardons ce que cela donne dans le tableau :

Tableau des dérivées composées

Comme tu le vois c’est EXACTEMENT le même tableau que précédemment mais on a remplacé x par u, et on a multiplié à chaque fois la dérivée par u’.

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2018-10-12 19:06:34 / mazoughou@magoe.gn