DÉFINITION

Soit f une fonction définie sur I.

On dit que F est une primitive de f sur l’intervalle I, si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x de I, F​′​​(x)=f(x).

EXEMPLE

La fonction F:x↦x^​2​​ est une primitive de la fonction f:x↦2x sur R.

La fonction G:x↦x^{​2​​}+1 est aussi une primitive de cette même fonction f.

PROPRIÉTÉ

Si F est une primitive de f sur I, alors les autres primitives de f sur I sont les fonctions de la forme F+k où k∈R.

REMARQUE

Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de f mais une primitive de f.

EXEMPLE

Les primitives de la fonction f:x↦2x sont les fonctions F:x↦x​²â€‹â€‹+k où k∈R.

PROPRIÉTÉ

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

PROPRIÉTÉS (PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES)

PROPRIÉTÉS

Si f et g sont deux fonctions définies sur I et admettant respectivement F et G comme primitives sur I et k un réel quelconque.

•  F+G est une primitive de la fonction f+g sur I.

•  kF est une primitive de la fonction kf sur I.

PROPRIÉTÉS

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

Les primitives de la fonction x↦u​′​​(x)e​^u(x)​​ sont les fonctions x↦e^{​u(x)​​}+k (où k∈R)

EXEMPLE

La fonction        est de la forme u​′​​e^​u​​ avec u(x)=x^​2​​.

Ses primitives sont donc les fonctions