Tableau de signe et sens de variation

Bon la dérivée c’est bien jolie mais à quoi ça sert ??

Et bien c’est très simple :

Si f' ≥ 0, f est croissante

Si f' ≤ 0, f est décroissante 

Un exemple tout simple :

f(x) = x² - 6x + 4

On cherche à faire le tableau de variation de f.
Pour cela, on calcule d’abord f ‘ :

f(x) = 2x - 6

Le but est de savoir le SIGNE de f ‘.
f’ est de la forme ax + b, il suffit donc de savoir quand f ‘ s’annule car on sait construire le tableau de signe d’une fonction de type ax + b.
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 3

On peut alors faire le tableau de SIGNE de f’ :

En effet, cela correspond au tableau de signe d’une fonction ax + b avec a > 0

Et maintenant on applique la propriété qu’on a vu juste au-dessus : si f ‘ ≤ 0, la fonction est décroissante, sinon elle est croissante !

 

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ATTENTION !!
Il faut bien voir qu’on fait le tableau de SIGNE de f ‘, mais le tableau de VARIATIONS de f, il ne faut pas mélanger les 2 !!!
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Evidemment, si f ‘ change plusieurs fois de signe, f change plusieurs fois de sens de variation. On peut donc imaginer le tableau suivant :

Il y a une chose que tu dois retenir : quand tu fais le signe de f ‘, il faut factoriser au maximum f ‘ !!
En effet, quand on fait le tableau de signe d’une fonction, il faut toujours la factoriser…

Lien avec la limite et dérivabilité

La dérivabilité, c’est le fait qu’une fonction soit dérivable ou non sur un certain intervalle. Pour cela, on va utiliser les limites.
Le lien entre limite et dérivée est très simple : si on a un point d’abscisse a, on a la relation suivante :

Il y a une autre formule équivalente mais qui est moins pratique à utiliser, nous te la donnons juste à titre indicatif pour que tu saches ce que c’est au cas où tu la rencontres :

Bon ok, et ça sert à quoi cette formule ??
Cette formule sert justement à savoir si une fonction est dérivable en un point ou non.

En effet, la fonction f est dérivable en a si

avec k REEL !!

Autrement dit il faut que la limite existe et que cette limite soit finie.
On rappelle que +∞ et -∞ ce n’est pas fini, donc si on obtient ce résultat, ce ne sera pas dérivable…

Attention : la limite ci-dessus n’existe pas forcément, si elle n’existe pas la fonction ne sera pas dérivable en a…

Mais si la limite existe et qu’elle est finie, on peut poser :

f'(a) = k

Avec un petit exemple ce sera plus simple :
Prenons la fonction racine :

On cherche à savoir si cette fonction est dérivable en a = 0 ou non.
On calcule alors :

car f(0) = √0 = 0

On multiplie alors en haut et en bas par √x pour pouvoir simplifier :

La limite vaut donc +∞, donc la limite n’est pas finie !!
Donc la fonction racine n’est pas dérivable en 0.

Cette partie peut peut-être te sembler un peu dure, mais rassure-toi, ce n’est pas ce qu’il faut retenir en priorité, loin de là !!
D’ailleurs on fait rarement ce genre de calculs, il est beaucoup plus important de savoir calculer la dérivée d’une fonction comme on l’a fait auparavant.

Equation de la tangente

Cette histoire de limite et de dérivabilité n’est sûrement pas ce que tu vas utiliser le plus dans ta scolarité.
En revanche, il y a une autre application plus importante de la dérivée : l’équation de la tangente !

Déjà une tangente à une fonction qu’est-ce-que c’est ?
C’est une droite, elle est donc de la forme y = ax + b
Ensuite, cette droite « longe » la courbe de la fonction sans la traverser… bon avec un schéma ce sera plus simple :

Et si on fait un gros zoom, la tangente ne coupe la courbe qu’en un seul point :

Bien sûr si on dézoome, il est possible que la tangente recoupe la courbe mais ce sera assez loin et ça ne nous intéresse pas.

La tangente que tu connais peut-être déjà c’est la tangente à un cercle, qui est perpendiculaire au rayon :

Les 3 droites sont tangentes au cercle (et donc perpendiculaires à un rayon)

Il y a évidemment une infinité de tangentes, en fait il y en a en tout point où la fonction est dérivable.
Pourquoi ?
Et bien tout simplement parce que dans la formule de l’équation de la tangente, il y a la dérivée !

L’équation de la tangente AU POINT D’ABSCISSE « a » est la suivante :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

 

Cette formule est à apprendre PAR COEUR !!!

Néanmoins nous allons te l’expliquer un peu.
En fait, la dérivée de f en a, c’est-à-dire f ‘(a), a une signification graphique :

f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en a

Or on a vu que la tangente était une droite, et comme son coefficient directeur est f ‘(a), son équation est de la forme :

y = f'(a)x + b

Par ailleurs, quand x = a, y = f(a) puisque la tangente coupe la courbe en a !
On a donc en remplaçant x par a et y par f(a) :

f(a) = f'(a).a + b

donc

b = f(a) - f'(a).a

Et donc en remplaçant le b dans l’équation ci-dessus, on a :

y = f'(a)x + f(a) - f'(a)a

ce qui donne

y = f'(a)(x- a) + f(a)

Et voilà, on a retrouvé l’équation de la formule !! 

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Attention à ne pas confondre f(a) et f ‘(a) !!
Pour ne pas inverser, dis-toi que le f ‘(a) est avec le x puisque f ‘(a) est le coefficient directeur.
Utilise cela pour te souvenir facilement de la formule.
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Dernière chose à noter : si on te demande de donner l’équation d’une tangente en a, il faut donc connaître f ‘(a) et f(a) pour remplacer dans la formule.
Il est alors conseillé de calculer séparemment f ‘, puis f ‘(a) et f(a) également séparemment au lieu d’écrire directement la formule, sinon il y a trop de chose à calculer d’un coup et il y a alors plus de chances que tu fasses des erreurs 

Intérêt de la dérivée

La dérivée est fondamentale car on la retrouve presque tout le temps avec les fonctions !!

Comme on l’a vu, elle permet de connaître l’équation de la tangente, de pouvoir calculer quelques limites de formes indéterminées, et surtout de connaître le sens de variation d’une fonction !!
C’est pour cette dernière application qu’elle est la plus utilisée.

La dérivée est également utile dans les équations différentielles, qui sont des équations reliant une fonction et sa dérivée.
L’intéret est que de nombreux phénomènes physiques sont régis par des équations différentielles, et il faut donc savoir les résoudre pour pouvoir étudier les grandeurs mises en jeu.

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2016-09-18 06:09:39