DÉFINITION

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] et F une primitive de f sur [a;b]. L’intégrale de a à b de f est le nombre réel noté ∫^​a_{​b​}​f(x)dx défini par:

REMARQUE

L’intégrale ne dépend pas de la primitive de f choisie.

En effet si G est une autre primitive de f, on a G=F+k donc :

G(b)−G(a)=F(b)+k−(F(a)+k)=F(b)−F(a)

NOTATIONS

On note souvent :

On obtient avec cette notation :

EXEMPLE

La fonction F définie par

est une primitive de la fonction carré.

On a donc :

3. PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE

PROPRIÉTÉ

Relation de Chasles Soit ff une fonction continue sur [a;b] et c∈[a;b].

 

PROPRIÉTÉ

Linéarité de l’intégrale Soit f et g deux fonctions continues sur [a;b] et λ∈R.

 

PROPRIÉTÉ

Comparaison d’intégrales: Soit f et g deux fonctions continues sur [a;b] telles que f⩾g sur [a;b].

 

REMARQUE

En particulier, en prenant pour gg la fonction nulle on obtient si f(x)⩾0 sur [a;b]:

 

4. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

DÉFINITION

Le plan PP est rapporté à un repère orthogonal        

On appelle unité d’aire (u.a.) l’aire d’un rectangle dont les côtés mesurent   et    

Unité d’aire dans le cas d’un repère orthonormé

PROPRIÉTÉ

Si f est une fonction continue et positive sur [a;b], alors l’intégrale ∫​^a_​b​​f(x)dx est l’aire, en unités d’aire, de la surface délimitée par :

•  la courbe C_​f​​

•  l’axe des abscisses

•  les droites (verticales) d’équations x=a et x=b

EXEMPLE

 

L’aire colorée ci-dessus est égale (en unités d’aire) à 

REMARQUES

•  Si f est négative sur [a;b], la propriété précédente appliquée à la fonction −f montre que

  ∫^​a_​b​​f(x)dx est égale à l’opposé de l’aire délimitée par la courbe C_​f​​, l’axe des abscisses, les droites d’équations x=a et x=b

•  Si le signe de f varie sur [a;b], on découpe[a;b] en sous-intervalles sur lesquels f garde un signe constant.

PROPRIÉTÉ

Si f et g sont des fonctions continues et telles que f⩽g sur [a;b], alors l’aire de la surface délimitée par :

•  la courbe C_​f​​

•  la courbe C_{​g​​}

•  les droites (verticales) d’équations x=a et x=b

est égale (en unités d’aire) à :

 

EXEMPLE

f et g définies par (x)=x​²â€‹â€‹−x et gg(x)=3x−x​^{2​​} sont représentées par les paraboles ci-dessous :

L’aire colorée est égale (en unités d’aire) à :

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2016-09-18 06:10:10