1. DÉFINITION DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

THÉORÈME ET DÉFINITION

Pour tout réel x > 0, l’équation e^{y​​​}=x, d’inconnue y, admet une unique solution.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0;+∞[ qui à x > 0, associe le réel y solution de l’équation e^​y​​=x.

REMARQUE

Pour 0x⩽0, par contre, l’équation e^​y​​=x n’a pas de solution

PROPRIÉTÉS

•  Pour tout réel x > 0 et tout y∈R : e^​y​​=x⇔y=ln(x)

•  Pour tout réel x > 0 : e^{​ln(x)}​​=x

•  Pour tout réel x : ln(e^​x​​)=x

 

REMARQUES

•  Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition

•  On dit que les fonctions «logarithme népérien» et «exponentielle» sont réciproques

•  On en déduit immédiatement : ln(1)=0 et ln(e)=1

2. ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

THÉORÈME

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée est définie par :

DÉMONSTRATION

On dérive l’égalité e^{​ln(x)}​​=x membre à membre.

D’après le théorème de dérivation des fonctions composées on obtient :

ln​′​​(x).e^{​ln(x)​​}=1

C’est à dire :

 

PROPRIÉTÉ

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.

DÉMONSTRATION

Sa dérivée     est strictement positive sur ]0;+∞[

 

PROPRIÉTÉ

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

Alors la fonction f : x↦ln(u(x)) est dérivable sur I et 

 

EXEMPLE

Soit f définie sur R par f(x)=ln(x​^{2​​}+1)

f est dérivable sur R et 

 

LIMITES

 

REMARQUES

•  Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :

Tableau de variation de la fonction logarithme népérien

 

Graphique de la fonction logarithme népérien

THÉORÈME ( «CROISSANCE COMPARÉE»)

 

REMARQUE

Comme dans le cas de la fonction exponentielle, on peut généraliser les deux premières formules :

Pour tout entier n > 1:

 

THÉORÈME

Si aa et bb sont 2 réels strictement positifs :

•  lna=lnb si et seulement si a=b

• lna si et seulement si a < b

REMARQUES

•  Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.

•  En particulier, comme ln(1)=0 : lnx<0⇔x<1. N’oubliez donc pas que ln(x) peut être négatif (si 0 < x < 1); c’est une cause d’erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !

3. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

THÉORÈME

Si a et b sont 2 réels strictement positifs et si n∈Z :

 

 

EXEMPLES

  

Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que x > 1.

Si x < -1, l’expression       est définie mais pas ln(x+1)−ln(x−1).

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2018-10-12 19:13:10 / mazoughou@magoe.gn