Le logarithme décimal est un outil mathématique incontournable dans diverses disciplines comme la physique (décibels) ou la chimie (pH)

Première approche

Pour tout réel x > 0, il existe un nombre tel que 10^a = x. Ce nombre a est le logarithme décimal de x. Il se note log x. La fonction logarithme décimal est celle qui associe à tout réel strictement positif son logarithme décimal.

Ainsi :

Donc log(10^a) = a

Exemples :

log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = log 10² = 2
log 0,01 = -2

Le calcul de logarithmes décimaux autres que ceux des puissances de 10 nécessite une calculatrice ou un logiciel.

La fonction log est strictement croissante sur son ensemble de définition. Sa représentation graphique est la suivante:

Elle est strictement négative sur l'intervalle ]0 ; 1[ et positive au-delà.

Propriétés

La plus importante, celle qui permet la démonstration de toutes les autres, est la transformation de produits en sommes :

… pour tous réels a et b strictement positifs. De même :

Enfin, pour tout réel x…

Exemple

Résoudre l’inéquation 410 × 0,95ⁿ ≤ 205

⇔ 0,95ⁿ ≤ 0,5

La fonction log étant strictement croissante, on peut écrire :

log 0,95ⁿ ≤ log 0,5
n log 0,95 ≤ log 0,5

Il ne faut pas oublier que log 0,95 est un nombre NÉGATIF. Donc le sens de l’inégalité change !

La conversion en nombre décimal n’était pas demandée dans l’énoncé mais pour que vous puissez vous assurer que vous savez bien utiliser votre calculatrice, vérifiez que l'on obtient n ≥ 13,51 environ.

Seconde approche

On retrouve très facilement cette égalité à partir de la définition vue plus haut.

La fonction logarithme décimal est donc la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 pour une valeur de 10. C’est la fonction réciproque de f(x) = 10^x pour tout x strictement positif.

Elle est dérivable sur son ensemble de définition. La dérivée est elle aussi très simple à déterminer à partir de l'égalité ci-dessus. Soit f la fonction logarithme décimal et f’ sa dérivée :

Mais encore...

Pour information, le niveau de l’intensité sonore est mesuré en Bel :

I0 est le seuil d’audibilité et I est l’intensité sonore. Lorsqu’on multiplie cette grandeur par 10, on obtient une mesure en décibels.

Par ailleurs, la base d’un logarithme n’est pas forcément e ou 10. Tout réel a strictement positif peut être la base d’un logarithme. Si a = 2 on parle de logarithme binaire. Un logarithme de base a est noté log_^a. À noter que si a ∈ ]0 ; 1[ la fonction est décroissante.

Par exemple, voici la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) = log_0,5x. Vous remarquerez qu’elle passe par le point de coordonnées (0,5 ; 1) :

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2018-10-12 19:14:16 / mazoughou@magoe.gn