La notion de limite de fonction a été inventée pour décrire le comportement d'une fonction aux extrémités de son ensemble de définition, au voisinage de points pour lequels on ne peut pas calculer d'image, par exemple au voisinage de +∞ pour f(x)=x² ou au voisinage 0 pour f(x)=1/x.
 

Limite de fonction

Limite finie en l'infini

On dit qu'une fonction admet une limite finie l en +∞ si pour tout nombre ε fixé à l'avance aussi petit que l'on veut, il existe un x à partir duquel la distance entre f(x) et l (que l'on peut noter |f(x)-l|) est inférieure à ε.

 

 

Nous avons la même chose en -∞ :  si ∀ε>0 ∃x₀ tel que ∀x0 |f(x)-l|<ε.

 

 

Exemples


 

Limite infinie en l'infini

Une dit qu'une fonction a pour limite +∞ en +∞ si pour tout nombre M fixé à l'avance aussi grand que l'on veut, il existe un x à partir duquel toutes les valeurs de f(x) sont supérieures à M. 

Nous avons des définitions similaires (limite +∞ ou -∞) pour la limite en -∞.

Exemples

 

 

Limite en un point

Il est aussi possible de parler de limite en un point. 

Si la fonction est continue (ce qui signifie que l'on peut tracer sa représentation graphique sans lever le crayon) on a toujours .

Sinon, on doit introduire la limite à gauche et la limite à droite de ce point. 
On note + ou - en exposant à côté de cette valeur.
 

 

As-tu compris?

 

A ton avis, combien vaut ?




 -∞  0  1  +∞
 

Calcul de limite

Pour calculer la limite d'une fonction on repère les fonctions usuelles (x², 1/x, √x) qui la compose et on utilise leurs limites connues et les opérations sur les limites.
 

Exemples

 car c'est la limite d'une somme de fonctions qui tendent vers +∞.
. Il y a une forme indéterminée. Il faut factoriser par x.
 car c'est la limite d'un produit de fonctions qui tendent vers +∞.
 car c'est de la forme 2÷0⁺ (0 par valeurs positives).
. Il y a une forme indéterminée, il faut factoriser par x² en haut et en bas.

 

Limite d'une fonction composée

Une fonction composée est une fonction qui contient une autre fonction, par exemple  ou .

Nous avons f(x)=u(v(x)) avec u(x)=x³ et .
Et g(x)=a(b(x)) avec a(x)=√x et b(x)=x²+1.

On note  et .

Pour calculer la limite d'une fonction composée on commence par calculer la limite (notons la L) de la fonction qui est à l'intérieur de l'autre puis on calcule la limite quand X tend vers L de la fonction qui englobe l'autre.


Exemples

• Pour  on a  et  donc .


• Pour  on a  et  donc 


•  

As-tu compris?

 

Combien vaut ?

 -∞  0  1  +∞

 

Voyons enfin deux techniques qui permettent de calculer des limites dans certaines situations.

 

Forme indéterminée 0÷0

Par exemple pour .

Dans ce cas on utilise la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point. 

En effet comme  on a aussi !

Donc  avec . Donc .

 

Forme indéterminée avec racine carrée

Quand il y a une forme indéterminée avec des racines carrées, par exemple pour , on peut essayer de faire apparaître l'expression conjuguée. 

L'expression conjuguée d'une somme a+b c'est la différence a-b. 
Cela a pour effet de supprimer les racines carrées qui nous gênent en utilisant la troisième identité remarquable.

Pour cet exemple on obtient :

 

Interprétation graphique : les asymptotes

Une asymptote à une courbe est une droite qui se rapproche de plus en plus de la courbe sans jamais la toucher.

Il existe 3 types d'asymptotes.
 

	L'asymptote horizontale, lorsque .  Son équation est y=a.
L'asymptote verticale, lorsque. Son équation est x=a.
	L'asymptote oblique. Son équation est . On a .  La hauteur du trait vert, qui représente la distance entre la courbe et son asymptote, tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini.

 

 

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2016-09-18 06:09:25