1. ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES

THÉORÈME ET DÉFINITION

On admet qu’il existe un ensemble de nombres (appelés nombres complexes), noté C tel que:

•  C contient R (l'ensemble des réels)

•  C est muni d’une addition et d’une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles de R

•  C contient un nombre noté i tel que i² = -1

•  Chaque élément z de C s’écrit de manière unique sous la forme z=a+ib où a et b sont deux réels.

EXEMPLE

 , 3i et √​2​​​ sont des nombres complexes (√​2​​​ est un nombre réel mais comme R⊂C c’est aussi un nombre complexe !)

REMARQUE

Attention : On définit une addition et une multiplication sur C mais on ne définit pas de relation d’ordre (comme â©½). En effet il n’est pas possible de définir une telle relation qui soit compatible avec celle définie sur R et possède les même propriétés que dans R.

Dans les exercices, attention donc à ne pas écrire de choses comme z < z', si z et z​′​​ sont des nombres complexes non réels !

DÉFINITIONS

•  L’écriture z = a+ib est appelée la forme algébriquedu nombre complexe z.

•  Le nombre réel aa s’appelle la partie réelle du nombre complexe z.

•  Le nombre réel bb s’appelle la partie imaginaire du nombre complexe z.

•  Si la partie réelle de z est nulle (c’est à dire a=0 et z=bi), on dit que z est un imaginaire pur .

PROPRIÉTÉ

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

REMARQUES

•  Cela résulte immédiatement du fait que chaque élément de C s’écrit de manière unique sous la forme z=a+ib.

•  En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.

2. CONJUGUÉ

DÉFINITION

Soit z le nombre complexe z=a+ib.On appelle conjugué de z, le nombre complexe

.

EXEMPLE

Soit z=3+4i

Le conjugué de z est .

PROPRIÉTÉS DES CONJUGUÉS

Pour tous nombres complexes z et z​′​​ et tout entier naturel n :

REMARQUES

•  Par contre, en général, |z+z​′​​∣ n’est pas égal à |z|+|z​′​​∣. On peut juste montrer que âˆ£z+z​′​​∣⩽∣z∣+∣z​′​​∣ (inégalité triangulaire) ;