Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 
et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est donnée ci-dessous:
1.a) Étudier la limite de f en 0.
1.b) Que vaut 
? En déduire la limite de la fonction f en +∞.
1.c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C.
2.a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0; +∞[.
Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, 
.
2.b) Résoudre sur l’intervalle ]0 ; +∞[ l’inéquation −1−2ln(x) >0.
En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2.c) Dresser le tableau des variations de la fonction f.
3.a) Démontrer que la courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
3.b) En déduire le signe de f (x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. Pour tout entier n ≥1, on note In l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives 
et 
.
4. a) Démontrer que 
.
On admet que la fonction F, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 
, est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0; +∞[.
4. b) Calculer In en fonction de n.
4. c) Étudier la limite de In en +∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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