La trigonométrie est la partie des mathématiques qui établit un lien entre les mesures des angles d'un triangle rectangle et les longueurs de ses côtés. 

Les formules de trigonométrie permettent : 
- De calculer les longueurs des deux autres côtés d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît la longueur d'un côté et les mesures d'au moins deux angles.
- De calculer les mesures des deux angles autres que l'angle droit si on connaît les longueurs d'au moins deux côtés. 

Les applications sont nombreuses (calcul de la hauteur d'une montagne, de la distance d'une planète...).


Exemple

Pour calculer BA il faudrait utiliser la somme des angles d'un triangle puis le cosinus puis le théorème de Pythagore.

Avec la formule de trigonométrie de la tangente (ci-dessous) on pourra faire cela directement.

Le théorème de Pythagore est une propriété qui permet de calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
 

1. Théorème de Pythagore

Vocabulaire 

Le plus grand côté d'un triangle rectangle s'appelle l'hypoténuse.

 

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

 

Exemple

Dans le triangle ABC rectangle en A, BC²=AB²+AC².

On peut aussi écrire cette égalité dans l'autre sens : AB²+AC²=BC².

Ou avec des multiplications : BC×BC=AB×AB+AC×AC.

 

Démonstration

Pour vérifier cette propriété tu peux dessiner un triangle rectangle puis mesurer les longueurs de ses côtés puis comparer le carré de la longueur de l'hypoténuse avec la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Utiliser le théorème de Pythagore

Pour utiliser le théorème on doit connaître les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle : le théorème permet de calculer la longueur du troisième.

Méthode

• 1. On écrit l'égalité. Par exemple AB²+AC²=BC².
• 2. On remplace les côtés connus par leur longueur. Par exemple 4²+AC²=7².
• 3. On calcule les carrés de ces nombres. Avec cet exemple on obtient 16+AC²=49.
• 4. En utilisant les règles sur les équations on isole la longueur inconnue d'un côté du =. Avec notre exemple il faut passer le 16 à droite. On obtient AC²=49-16.
• 5. On calcule l'autre côté. On obtient AC²=33.
• 6. On calcule la racine carrée (touche racine carrée de la calculatrice) du résultat obtenu. AC mesure environ 5,74 cm.

Remarque

Le théorème de Pythagore est particulièrement utile pour calculer des longueurs qu'on ne peut pas mesurer, comme des grandes distances sur la Terre ou dans l'espace (astronomie).

Réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque du théorème de Pythagore est une propriété qui permet de savoir si un triangle est rectangle ou non lorsqu'on connaît les longueurs de ses 3 côtés.

Énoncé

Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Méthode et exemple

Question : le triangle ABC ci-contre est-il rectangle?

Méthode
1. On calcule séparément AC² et AB²+BC² et on compare les résultats obtenus.
2. On conclut.

Exemple
1.
AC²=15²=225
AB²+BC²=12²+9²=144+81=225.
On a bien AB²+BC²=AC².

2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

 

2. Cosinus, sinus et tangente

Cosinus et Sinus sont les noms de fonctions à qui on donne des mesures d'angles et qui retournent des nombres compris entre -1 et 1. 

Par exemple le cosinus de 60° est égal à 0,5 et le sinus de 30° est égal à 0,5. On obtient la valeur du cosinus d'un angle en utilisant la touche "cos" de la calculatrice (on peut aussi l'obtenir avec un dessin, comme indiqué ci-dessous).
 

Obtention du cosinus sur un dessin


 

Le cosinus sert à calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle. Dans un tel triangle si on connaît les mesures de deux côtés ou la mesure d'un côté et d'un angle autre que l'angle droit alors nous pourrons connaître les mesures de tous les côtés et de tous les angles du triangle.

Pour cela nous devons commencer par apprendre à reconnaître le côté adjacent à un angle.

Côté adjacent, côté opposé, hypoténuse

• L'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle.

• Le côté adjacent à un angle est le côté qui touche cet angle mais qui n'est pas l'hypoténuse.

• Le côté opposé à un angle est le côté qui ne touche pas cet angle.

Exemple:

 

Il faut retenir ceci:

 

On peut alors écrire les trois formules de trigonométrie:
 

 

4. Utilisation de la trigonométrie

Considérons un triangle rectangle placé comme ci-dessous dans un cercle de rayon 1 dont le centre est à l'origine d'un repère orthonormé.

Un tel cercle s'appelle un cercle trigonométrique.

Fonction cosinus.
Avec la fonction cosinus si C est à droite de O alors le cosinus de x est la longueur OC. 
On peut donc écrire cos(x) = OC/1 et comme 1=OB on a cos(x) = OC/OB.
Avec le théorème de Thalès cette formule reste vraie lorsque OB est différent de 1 (en faisant un agrandissement ou une réduction du triangle).
Donc le cosinus de x est toujours égal à la longueur du côté adjacent divisée par celle de l'hypoténuse.

Fonction sinus.
Le sinus de x est l'ordonnée du point B. 
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle OCB rectangle en C on a la formule:

cos²(x) + sin²(x) = 1

 

Fonction tangente.
La tangente d'un angle est le quotient de son sinus par son cosinus.
On peut calculer la tangente d'un angle seulement si le cosinus de cet angle n'est pas nul.

tan(x) = sin(x)/cos(x)

 

Valeurs remarquables

Les valeurs ci-dessous sont à connaître et seront utiles pour la suite.
Tu peux t'aider du dessin pour les mémoriser.

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2020-05-30 20:56:18