Un vecteur est un objet mathématique qui se représente par une flèche. 

En sciences physiques les vecteurs servent à représenter une force, un déplacement ou une vitesse. En maths ils servent surtout à créer des repères afin de repérer la position de points dans un plan ou dans l'espace (avec des coordonnées). Ils servent aussi à calculer des équations de droites, de cercles et à faire des démonstrations et des calculs en géométrie.

Notation
Si un vecteur va d'un point A à un point B on le note .
Si les points d'origine et d'arrivée n'ont pas de nom, on peut simplement noter le vecteur  avec une petite flèche au dessus d'une lettre en minuscule, par exemple le vecteur .
 

Opérations avec des vecteurs

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens, et la même longueur. Ils peuvent cependant avoir un point d'origine différent.

 

Somme de vecteurs

La somme de deux vecteurs qui sont placés l'un au bout de l'autre est le vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive à l'extrémité du second. 

Si A, B et C sont 3 points on a toujours  (relation de Chasles).

 

Différence de vecteurs

La différence de deux vecteurs est la somme du premier et de l'opposé du second. 

L'opposé d'un vecteur  est le vecteur de même longueur et de même direction que  mais de sens opposé (la flèche est tournée dans l'autre sens).

Si A et B sont deux points on a toujours . 

 

Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre

Le produit (ou le quotient) d'un vecteur  par un nombre k est un vecteur de même direction que , de longueur multipliée (ou divisée) par k, et de sens contraire à celui de  si k est négatif.

Remarques

1. Si deux vecteurs ont la même direction on dit qu'ils sont colinéaires. 
2. Le produit de deux vecteurs existe aussi: c'est le produit scalaire. 
3. Il n'est pas possible de diviser deux vecteurs entre eux (sauf s'ils sont colinéaires), ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs.
 

Coordonnées d'un vecteur dans un repère du plan

Un plan est une surface plate infinie.

Les vecteurs permettent de repérer la position de points dans un plan.

Pour créer un repère dans un plan on utilise deux vecteurs non colinéaires que l'on place à une même origine.

 

Pour repérer la position d'un point M dans ce repère on exprime le vecteur  en fonction des vecteurs  et  : les nombres  et β tels que  sont appelés les coordonnées de M dans le repère .

On note  ce qui se lit : "M a pour coordonnées alpha et bêta."
 

Exemples

Lorsque les vecteurs  et  forment un angle droit on dit que le repère est orthogonal. 
Si en plus ils sont tous deux de même longueur on dit qu'il est orthonormé.

Calculs dans un repère

Coordonnées du milieu de deux points

Dans un repère, si on connaît les coordonnées de deux points  et alors on peut calculer les coordonnées du point  milieu de [AB]. 

Pour cela on calcule la moyenne des coordonnées de A et de B.

 

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère un vecteur possède des coordonnées.

L'abscisse d'un vecteur c'est de combien il avance et son ordonnée c'est de combien il monte. 

Si un vecteur passe par deux points  et  alors .

 

Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, si  et  alors la longueur AB mesure  en unités de longueurs du graphique. Cette propriété provient du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle APB ci-contre.

Pour cet exemple on obtient  u.g.

 

Colinéarité

Dans un repère si deux vecteurs  et  sont colinéaires alors . 
Réciproquement si dans un repère deux vecteurs  et  sont tels que  alors ils sont colinéaires.

En effet si  et  sont colinéaires alors il existe un nombre k tel que . Donc les coordonnées de  sont égales aux coordonnées de  multipliées par un même nombre k (les coordonnnées de deux vecteurs sont proportionnelles). On a donc: 

En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation on obtient .

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2016-07-21 23:04:36