Dans ce cours nous allons voir 3 méthodes pour calculer une équation de droite et 3 méthodes pour calculer une équation de cercle.

Equation de droite

L'équation cartésienne d'une droite est une égalité qui relie l'ordonnée y à l'abscisse x de n'importe quel point de la droite. Par exemple y=2x+3 est une équation de droite. Le point A(0;3) appartient à cette droite.

Nous allons voir comment on obtient une équation de droite dans 3 cas différents, en fonction des données que l'on connait : à partir de deux points, à partir d'un point et d'un vecteur directeur, ou à partir d'un point et d'un vecteur normal.

1. Avec deux points

Si on connait les cooordonnées de deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) dans un repère orthonormé, alors on peut calculer l'équation de la droite qui passe par ces deux points. L'équation sera de la forme y=mx+p. Nous devons trouver m et p.

Méthode

• 1. On calcule le coefficient directeur avec la formule .
• 2. On le remplace dans la formule y=mx+p.
• 3. On remplace x et y par les coordonnées d'un point de la droite afin d'obtenir p avec une équation.
• 4. On remplace p dans l'équation y=mx+p.

Exemple

Equation de la droite passant par A(-3;7) et B(2;-3).

• 1. .
• 2. y=-2x+p.
• 3. y_A=-2x_A+p donc 7=-2×(-3)+p donc p=1. On pourrait aussi faire le calcul avec x_B et y_B.
• 4. On obtient y=-2x+1.

2. Avec un point et un vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur de même direction que la droite (on pourrait le placer sur la droite).

Si on connait les coordonnées d'un point A appartenant à la droite et celles d'un vecteur directeur  de cette droite alors on peut dire que la droite est l'ensemble des points M(x;y) tels que les vecteurs  et  sontcolinéaires.

 

 

Si on note (x_A;y_A) les coordonnées de A, (V_x;V_y) celles de , et (x;y) celles de M, alors  et avec la formule de colinéarité on a (x-x_A)×V_y-(y-y_A)×V_x=0. Comme on connait x_A, V_y, y_A et V_x on obtient, en développant, une équation avec x, y et des nombres : c'est l'équation de la droite.

Exemple
Equation de la droite qui passe par T(-3;5) et de vecteur directeur .

• 1. Soit M(x;y) un point de la droite.  et .
• 2.  et  sont colinéaires donc 3(y-5)-4(x+3)=0.
• 3. On obtient 3y-15-4x-12=0. L'équation de la droite est -4x+3y-27=0.

Remarques
- On n'est pas obligé d'écrire l'équation sous la forme y=mx+p. L'équation cartésienne s'écrit le plus souvent sous la forme ax+by+c=0.
- Si une droite a pour équation ax+by+c=0 alors  est un vecteur directeur et inversement.

3. Avec un point et un vecteur normal

Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à n'importe quel vecteur directeur de la droite. C'est donc un vecteur dont la représentation est perpendiculaire à la droite.

 

 

Si on connait les coordonnées d'un point A(x_A;y_A) appartenant à la droite et celles d'un vecteur normal à cette droite, comme la droite est l'ensemble des points M(x,y) tels que les vecteurs  et  sont orthogonaux, en utilisant la formule  on obtient n_X(x-x_A)+n_Y(y-y_A)=0 puis en développant, une équation avec x, y et des nombres : c'est l'équation de la droite. 

Exemple
Equation de la droite qui passe par T(-3;5) et de vecteur normal .

• 1. Soit M(x;y) un point de la droite.  et .
• 2.  et  sont orthogonaux donc 3(x+3)+4(y-5)=0.
• 3. On obtient 3x+4y-11=0.

Remarque
Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors  est un vecteur normal et inversement.

Equation de cercle

1. Avec le centre et un point du cercle

Considérons un cercle de centre A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) un point du cercle. 

Si B' est le symétrique de B par rapport à A, le cercle est l'ensemble des points M tels que  et  sontorthogonaux.

Comme , B'(2x_A-x_B;2y_A-y_B). ( ?)

Donc  et .

Donc (2x_A-x_B-x)(x_B-x)+(2y_A-y_B-y)(y_B-y)=0. C'est en développant cette équation que l'on obtient l'équation du cercle.
 

2. Avec les deux extrémités du diamètre

Considérons un cercle dont on connait les coordonnées des deux extrémités A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) d'undiamètre.

 

Le cercle est l'ensemble des points M(x;y) tels que  et  sont orthogonaux.

 et . 

Comme  on a (x_A-x)(x_B-x)+(y_A-y)(y_B-y)=0. 
En développant on obtient l'équation x_Ax_B-xx_A-xx_B+x²+y_Ay_B-yy_A-yy_B+y²=0.

3. Avec le centre et le rayon

L'équation précédente peut aussi s'écrire : x²-(x_A+x_B)x+x_Ax_B+y²-(y_A+y_B)y+y_Ay_B=0.
Nous allons factoriser ce résultat avec une identité remarquable. 

Soit Ω le milieu de [AB].

On a :

Conclusion

Exemple
Le cercle de centre S(1;-5) et de rayon 10 a pour équation (x-1)²+(y+5)²=100.

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2016-07-21 23:05:41