Le théorème de Thalès est une propriété qui permet de calculer des longueurs dans certaines figures géométriques. 

Quand l'utiliser?

Type de figure

L'utilisation du théorème de Thalès nécessite la présence de deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes (des droites sécantes sont des droites qui se coupent en un point). 

Exemple

Le théorème de Thalès sera utilisé dans des figures comme celles ci-dessous.

Il y a deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes.

Données nécessaires

Pour utiliser le théorème de Thalès on doit connaître au moins trois longueurs dans ce type de figure.

Le théorème de Thalès

Si A, O, B, C, D sont cinq points tels que:

- (AD) et (BC) sont parallèles.
- (AC) et (DB) se coupent en O.

Alors .
Remarque
Les longueurs OB, OC et BC sont proportionnelles aux longueurs OD, OA et AD.

Comment utiliser le théorème?

Méthode

• 1. On énonce le théorème et on écrit les rapports égaux.
• 2. On remplace les longueurs connues par leurs valeurs numériques et on raye le rapport inutile.
• 3. On réalise un produit en croix.

Comment écrire les rapports égaux?

Pour écrire les rapports égaux:

• 1. On repère le point d'intersection des deux droites non parallèles.
• 2. On choisit l'une des deux droites qui passe par ce point.
• 3. En restant sur cette droite et en partant de ce point on écrit le rapport de la plus petite longueur par la plus grande.
• 4. On écrit = puis le rapport de la plus petite longueur par la plus grande sur l'autre droite qui passe par le point d'intersection des deux droites non parallèles.
• 5. On écrit le rapport de la plus petite longueur par la plus grande sur les deux droites parallèles.
• 6. On obtient les rapports à utiliser pour appliquer le théorème.

Remarque
On peut aussi écrire le rapport des grandes longueurs par les petites mais dans ce cas il faut bien le faire pour les trois rapports.

Exemple

1. Écriture des rapports

2. Utilisation du théorème

Sachant que (FA) et (CN) sont parallèles. Calculer CN.

• 1. Les droites (FA) et (CN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès:

  

• 2.

  
  
  

• 3. CN=7×4÷6 donc CN≈4,7cm.

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer (prouver) que des droites sont parallèles (ou qu'elles ne le sont pas).

Exemple

Pour démontrer que les droites ci-dessus (XY) et (WZ) sont parallèles, on calcule séparément les rapports  et  et on montre qu'ils sont égaux.
 

 donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (XY) et (WZ) sont parallèles.