Définition

On appelle symétrie glissée la composée d'une réflexion et d'une translation de vecteur dirigeant l'axe de la réflexion.

Une symétrie glissée est une isométrie comme composée d'isométries.
Sur la figure, l'axe de symétrie est représenté par un trait mixte, et le vecteur est représenté en vert. L'image du F bleu par la symétrie glissée d'axe D et de vecteur u est le F vert.

Propriété 1

Soit  une droite dirigée par un vecteur . La symétrie glissée  vérifie ces propriétés :

1. Les applications  et σΔ commutent. On a aussi .
2. Le carré ψ∘ψ de  vaut .
3. La décomposition  est unique.
4. L'application ψ n'admet aucun point fixe.
5. La droite Δ est l'ensemble des milieux de [Mψ(M)] pour M∈????.

Démonstration

1. Les applications  et σΔ commutent si et seulement si on a l'égalité . Soit un point M du plan, on pose

.

Par l'égalité , le quadrilatère MM₁M₂M₃ est un parallélogramme. Comme dirige Δ et que (M1M2) est perpendiculaire à Δ, l'angle  est droit donc MM₁M₂M₃ est un rectangle. 

Alors Δ est une médiane puisque parallèle à (MM1) et passant par le milieu de [M1M2]. Donc le milieu de [MM3] appartient à Δ et (MM3) est perpendiculaire à Δ, ceci signifie que M3 est le symétrique de M par rapport à Δ. 
On a donc démontré , qui est équivalent à . 
2. En utilisant (1) et le fait qu'une réflexion est involutive, on peut écrire :

.

3. Le vecteur de la symétrie glissée est uniquement déterminé par l'égalité  ; la réflexion est alors uniquement déterminée par . 
4. Comme la translation ψ∘ψψ∘ψ n'admet aucun point fixe, il en est de même pour ψψ. 
5. Sur la figure, M3 est l'image de M1 par ψ. La droite Δ est une droite des milieux dans le triangle M1M2M3 puisque parallèle à la base (M2M3) et passant par le milieu de [M1M2] donc elle passe par le milieu N de [M1M3]. On a donc montré que le milieu N de [M1ψ(M1)] appartient à Δ pour tout M1.

Réciproquement, soit P un point de Δ. On pose  et . Comme P₀ appartient à Δ, il est fixe par σΔ donc P₁ est l'image par ψ de P₀ et P est, par construction, le milieu de [P₀P₁]. On a montré que tout point de Δ est le milieu d'un segment [Mψ(M)] pour M point du plan. 
L'assertion (5) est démontrée. 

Proposition

La seule droite invariante par la symétrie glissée  (avec  vecteur non nul dirigeant ????) est son axe ????.

Démonstration

Si la droite  est invariante par  alors elle est invariante par  donc elle est dirigée par  et invariante par σ????. C'est donc l'axe ???? de ψ et cet axe est évidemment invariant.