Définition

On appelle rotation de centre O et d'angle θ, et on note ρ(O,θ), l'application du plan ???? dans lui-même qui fixe O et qui, à M distinct de O, associe M′ tel que :

Propriété 1

Soient Δ et Δ′ deux droites sécantes en O alors σΔ′∘σΔ est la rotation de centre O et d'angle 2(Δ,Δ′).

σΔ′∘σΔ=ρ(O,2.(Δ,Δ′))

Réciproquement, si  est une droite donnée passant par OO, on peut écrire ρ(O,θ)ρ(O,θ) comme la composéeσΔ'∘σΔσΔ′∘σΔ où Δ'Δ′ est la droite image de  par la rotation de centre OO et d'angle θ/2θ/2 : Δ'=ρ(O,θ/2)(Δ)Δ′=ρ(O,θ/2)(Δ).

Propriété 2

1. Une rotation est une isométrie.
2. Pour tout point O, la rotation de centre O et d'angle 0 est l'identité.
3. La rotation de centre O et d'angle π est la symétrie centrale de centre O.
4. La composée de ρ(O,θ) et ρ(O,θ′) est ρ(O,θ+θ′).
5. L'inverse de ρ(O,θ) est ρ(O,−θ).

Ordre d'une rotation

Si Ï• est une application et k un entier naturel non nul, on note Ï•_k la composée de k applications égales à Ï•. Par extension, on dit Ï•₀ est l'identité.

Définition

On dit qu'une rotation ρ est d'ordre fini s'il existe un entier naturel k non nul tel que ρk est l'identité. L'ordre de ρ est alors le plus petit entier naturel n non nul tel que ρ_n est l'identité.

Exemples

Une involution est d'ordre 2. La rotation  est d'ordre n.

Proposition

Une rotation qui admet une droite invariante est une symétrie centrale ou l'identité.

Démonstration

Soit ???? une droite. Décomposons ρ(O,θ) en produit de réflexions: σΔ∘σ???? avec θ=2.(????,Δ). Si la droite ???? est invariante par ρ(O,θ), alors, comme elle est fixe par σ????, elle est invariante par σΔ. Deux cas peuvent se présenter :

1. La droite ???? est confondue avec  et ρ(O,θ)=σ????∘σ???? est l'identité.
2. La droite ???? est perpendiculaire à  et ρ(O,θ) est une symétrie centrale comme composée de deux réflexions d'axes perpendiculaires.