Définition

Soit ???? une droite du plan ????. On appelle symétrie orthogonale par rapport à ???? ou réflexion d'axe ???? , et on note σ????, l'application du plan affine ???? dans lui-même qui à un point M associe le point M′ tel que

1. le milieu de [MM′] appartienne à ????
2. la droite (MM′) soit perpendiculaire à ????.

Sur la figure, l'axe de symétrie est représenté par un trait mixte. L'image du F bleu par la symétrie est le F vert. 

Propriété 1

Voici des propriétés d'une réflexion.

1. Les points de ???? sont les seuls points fixes.
2. L'inverse de σ???? est σ????.
3. Une réflexion est une isométrie.
4. Soient A et B deux points distincts et A′ et B′ leurs images respectives par σ????. L'image par σ???? de (AB) est (A′B′). Si deux droites sont parallèles, leurs images sont parallèles.

Démonstration

1. Un point N est fixe si et seulement si il est confondu avec son image N′ si et seulement si le segment [NN′] est réduit au point N qui est aussi son milieu si et seulement si N appartient à ????. 
2. La définition d'une réflexion est symétrique en M et M′. 
3. Soient M₀ et N₀ les projetés orthogonaux respectifs de M et N sur ????, on a :

De même on a : 

. 
Alors de  et  on déduit l'égalité M′N′²=MN². Donc une réflexion est une isométrie.

4. Uune isométrie conserve l'alignement, donc l'image de (AB) par σ???? est contenue dans la droite (A′B′). Comme A et B sont les images de A′ et B′ par σ????, l'image de (A′B′) par σ???? est contenue dans la droite (AB), soit σ????((A′B′))⊂(AB). En appliquant σ???? à cette inclusion, on obtient (A′B′)⊂σ????((AB)). Comme on avait  σ????((AB))⊂(A′B′), on conclut à l'égalité σ????((AB))=(A′B′). 
Soient deux droites parallèles Δ₁ et Δ₂ et Δ′₁ et Δ′₂ leurs images respectives par σ????. Alors Δ′₁ et Δ′₂ sont parallèles, en effet si elles étaient sécantes en un point C alors σ????(C) serait commun à Δ₁ et Δ₂, ce qui est impossible.

Propriété 2

Une réflexion conserve les angles géométriques et transforme un angle orienté en son opposé.

Proposition 3

Soit ???? une droite du plan. Les droites invariantes par σ???? sont ???? et les droites perpendiculaires à ????.

Démonstration

La droite ???? est invariante par σ???? puisque fixe point par point. 
Soit une droite ????′ distincte de ???? et B un point de ????′ n'appartenant pas à ???? et B′ son image σ????(B). 
Si ????′ est invariante par σ????, alors B′ appartient à ????′ qui est donc confondue avec (BB′) et, par définition de σ????, perpendiculaire à ???? 
Réciproquement, si ????′ perpendiculaire à ????, par définition, pour tout B de ????′, son image B′ appartient à ????′donc ????′ est invariante.