Définition

On appelle symétrie centrale de centre C l'application du plan affine ???? dans lui-même qui à un point M associe le point M' tel que . On la note σC.

Sur la figure, le F vert est l'image du F bleu par la symétrie centrale de centre C.

Propriété 1

Voici des propriétés d'une symétrie centrale.

1. Le centre d'une symétrie centrale est le milieu du segment joignant un point M et son image M′.
2. Le centre d'une symétrie centrale est son unique point fixe.
3. L'inverse d'une symétrie centrale est elle-même. Une symétrie centrale est donc une involution.
4. Une symétrie centrale est une isométrie.
5. Soient A et B deux points distincts. L'image de la droite (AB) par une symétrie centrale est la droite passant par les images de A et de B. Elle est parallèle à (AB).
6. Une symétrie centrale transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles.

Démonstration

Soit  une symétrie centrale. On note C son centre : σ=σC. 
1. Par définition, si M est un point et M′=σC(M) alors : . Le point CC est le milieu de[MM']. 
2. Le point N est un point fixe si et seulement si il vérifie :  si et seulement si le vecteur  est nul. Donc C est l'unique point fixe. 
3. On a aussi  donc M est l'image de M′=σC(M) par σC. L'application σC est son propre inverse. On a σC∘σC=Id. 
4. On pose σC(A)=A′ et σC(B)=B′, alors le quadrilatère ABA′B′ est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu. On a donc : . Par conséquent, σC est une isométrie : A′B′=AB. 
5. Soient M∈(AB) et M′=σC(M). Les points A, B et M sont alignés, c'est-à-dire que  et  sont colinéaires. Alors  et  sont colinéaires donc A′, B′ et M′ sont alignés. L'image de la droite (AB) par σC est donc contenue dans la droite (A′B′). De même on a : σC(A′B′)⊂(AB). L'image de (AB) par σC est donc la droite (A′B′) qui lui est parallèle car les vecteurs directeurs  et  sont égaux.

Propriété 2

Les symétries centrales et les translations conservent les angles orientés de vecteurs.

Démonstration

Soit Ï• une symétrie centrale ou une translation. Soient O, A et B trois points distincts et O′, A′ et B′ leurs images respectives par Ï•. On a vu que si Ï• est une translation, on a les égalités :  et  ; on en déduit :

.

Si Ï• est une symétrie centrale, on a les égalités : 

 ;

on en déduit :

.

Propriété 3

Les droites invariantes par une symétrie centrale sont les droites passant par son centre.

Démonstration

Soit C un point du plan. Pour tout M un point du plan, on note M′=σC(M) alors C appartient à la droite (MM′). Donc les droites invariantes par σC sont celles passant par C.