Définition

On appelle translation de vecteur  l'application du plan affine ???? dans lui-même qui à un point M associe le point M′ tel que . On la note .

Sur la figure, le F vert est l'image du F bleu par une translation de vecteur uu. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.

Propriétés 1

Voici des propriétés d'une translation.

1. Une translation de vecteur  non nul n'a pas de points fixes. La translation de vecteur nul est l'identité.
2. L'inverse de la translation de vecteur  est la translation de vecteur .
3. Une translation est une isométrie.
4. Soient A et B deux points distincts et A′ et B′ leurs images respectives par la translation de vecteur . L'image de la droite (AB) par la translation de vecteur  est la droite (A′B′). Elle est parallèle à (AB).
5. Une translation transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles.

Démonstration

1. Un point M est fixe par la translation de vecteur  si et seulement si on a , puisque par définition  est égal au vecteur de la translation. Ainsi, seule la translation de vecteur nul admet des points fixes et tout point est fixe par la translation de vecteur nul qui est l'identité. 
2. L'inverse de  est  puisqu'on a, pour tout M du plan, . 
3. On pose  et , alors on a :

 et 

Le quadrilatère ABB′A′ est un parallélogramme donc on a : . On en déduit : A′B′=AB, donc  est une isométrie. 
4. Comme  est une isométrie, l'image de la droite (AB) par la translation  est contenue dans la droite (A′B′). De même on a :. L'image de (AB) par  est donc la droite (A′B′) qui lui est parallèle, en effet les vecteurs directeurs  et  sont égaux. 
 

Propriété 2

Soit un vecteur  non nul. Une droite ???? est invariante par  si et seulement si elle est dirigée par .

Démonstration

Soit une droite ???? dirigée par  alors si M appartient à ????, le point  appartient à ???? puisqu'on a . Donc ???? est invariante. 
Réciproquement, si une droite (AB) est invariante par , alors  appartient à (AB) et le vecteur  dirige (AB).