Applications

Les fonctions à valeurs réelles d'une variable réelle associent à un nombre réel un autre nombre réel par une formule ou un autre moyen. Certaines sont définies seulement sur une partie de â„.
Nous allons étudier des applications du plan affine eucliden ????.

Définition

Une application Ï• associe à n'importe quel point M de ???? un point M′=Ï•(M). Chaque point du plan a une et une seule image.

De plus les applications que nous étudierons seront bijectives :

Définition

Par une application bijective, chaque point du plan a un et un seul antécédent. L'inverse Ï•⁻¹ de Ï• est l'application qui à M′=Ï•(M) associe M. C'est le retour à la position initiale.

Nous dirons souvent transformation pour une application bijective du plan.

Exemple de la projection

Par contre, la projection orthogonale sur une droite n'est pas bijective et ne conserve pas les distances.

Dans le plan affine euclidien, on considère une droite ????. On appelle projection orthogonale sur ???? l'application de ???? dans ???? qui à M associe le point M′ intersection de ???? et de la perpendiculaire à ???? passant par M. On dit que M′ est le projeté orthogonal de M sur ????.

Sur la figure, la droite ???? est l'axe des abscisses. Les longueurs MP et MS sont égales mais M′S′ est strictement inférieur à M′P′. On voit aussi que [MP] et [MQ] ont même projeté [M′P′].

Points fixes

On dit qu'un point C est fixe par une application Ï• s'il vérifie Ï•(C)=C.

Tous les points de l'axe des abscisses sont fixes par la projection de l'exemple précédent.

Isométries

Définition

On dit qu'une application Ï• du plan ???? dans lui-même est une isométrie si elle conserve les longueurs, c'est-à-dire si l'on a, pour tous points A et B dans ????, Ï•(A)Ï•(B)=AB.

Une isométrie transforme trois points alignés en trois points alignés dans le même ordre.
En particulier, une isométrie conserve les milieux.

Démonstration

On rappelle l'inégalité triangulaire : Soient A, B et C trois points du plan. On a l'inégalité triangulaire :

AC≤AB+BC

L'égalité AC=AB+BC vaut si et seulement si les trois points sont alignés avec B entre A et C. Soient trois points A, B et C alignés et A′, B′ et C′ leurs images respectives par une isométrie Ï•. De AC=AB+BC, on déduit, puisque Ï• est une isométrie, A′C′=A′B′+B′C′. Donc A′, B′ et C′sont alignés dans le même ordre que A, B et C. Le milieu M de [AC] est l'unique point vérifiant AC=AM+MC et  AM=MC. Son image M′ par Ï• vérifie A′C′=A′M′+M′C′ et A′M′=M′C′, c'est donc le milieu de [A′C′].

Composition, inverse, involution

Définition

Si Ï• et ψ sont deux applications de ???? dans lui-même, la composée Ï•âˆ˜ψ est l'application de ???? dans lui-même qui à un point M associe le point Ï•(ψ(M)) image de ψ(M) par Ï•.

∀M∈???? (ϕ∘ψ)(M)=Ï•(ψ(M))

On sera attentif au fait qu'on applique d'abord l'application qui est à droite du symbole âˆ˜ de composition.

Remarques

1. On note Id l'application identité du plan. Alors, pour toute application ψ du plan, on a : ψ∘Id=Id∘ψ=ψ.
2. L'inverse Ï•⁻¹ d'une application bijective Ï• vérifie ϕ∘ϕ⁻¹=Ï•⁻¹âˆ˜Ï•=Id.
3. On montre facilement que la composée de deux isométries est encore une isométrie.

Définition

On appelle involution une application ψ, différente de l'identité, qui est son propre inverse pour la loi de composition, c'est-à-dire que ψ vérifie ψ∘ψ=Id. On dit aussi que ψ est involutive.