Théorème   Orthogonalité

Soit deux vecteurs  et . Leur produit vectoriel est un vecteur orthogonal à  et à .

Théorème   Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs  et  sont colinéaires si et seulement si  = 

Théorème   Base orthonormale

Si  et  sont deux vecteurs unitaires et orthogonaux et   =  , alors (,,) est une base orthonormale directe.

Propriété

Si (,,) est une base orthonormale, alors on a   =  .

Propriété

Soient  et  deux vecteurs quelconques de l'espace. On a :

  =  -

On dit que le produit vectoriel est anti-symétrique.

Propriété

Soient ,  et  trois vecteurs quelconques de l'espace et  un réel quelconque. On a :

    (+)  =   + 

    (+)  =   + 

    ()  =  ()  =  ()

Propriété

Soit (,,) une base orthonormale directe de l'ensemble des vecteurs de l'espace. On a :

      =    =    =  

      =            =            =  

      =  -         =  -        =  -

Rappel :   Déterminant

On rappelle ci-dessous comment calculer un déterminant.

Théorème

Soit (,,) une base orthonormale directe et  et  deux vecteurs de coordonnées respectives (x,y,z) et (x',y',z') dans cette base.

Les coordonnées du produit vectoriel    sont :

ou :

( yz'-y'z , zx'-z'x , xy'-x'y )