I- Priorités

I.1. Cas des opérations avec parenthèse.

REGLE 1 : On effectue d'abord les calculs entre parenthèses.

S'il y a des parenthèses emboîtées on commence par les plus intérieures.

Remarque : on remplace souvent les parenthèses extérieures par des crochets, puis éventuellement des accolades.

Exemples :

A= (7 + 4) x (8 – 5)	B = 5 x [ 19 – (8 + 7)] (parenthèses emboîtées)
A = 11 ' 3 A = 33	B = 5 ' [ 19 – 15 ] B = 5 ' 4 B = 20

 

REGLE 2 : Quand il n'y a pas de parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions.

On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions.

Exemples:

C = 12 + 3 x 5	D = 20 – 12 : 4	E = 45 : 9 + 2 ' 4
C = 12 + 15 C = 27	D = 20 – 3 D = 17	E = 5 + 8 E = 13

 

I.2. Cas des opérations qui ont la même priorité.

1. S'il n'y a que des additions on peut calculer dans l'ordre qu'on veut, et faire des regroupements.
2. Même chose s'il n'y a que des multiplications.


3. Mais s'il y a des soustractions ou des divisions, ce n'est plus possible.

REGLE 3 : Quand il n'y a que des additions et des soustractions (sans parenthèses) , on effectue de la gauche vers la droite.

Même règle s'il n'y a que des multiplications et des divisions.

Exemples :

F = 19 – 7 – 6 + 3	G = 6 ' 8 : 12 ' 5
F = 12 – 6 + 3 F = 6 + 3 F = 9	G = 48 : 12 ' 5 G = 4 ' 5 G = 20

 

I.3. Exemple : un calcul complexe avec parenthèses et priorités.

Calculer H = 75 – ( 6 + 3 ' 10 ) : 9 + 6

Il faut commencer par le calcul entre parenthèses.

Mais pour calculer 6 + 3 ' 10 , on commencera par la multiplication : 3 ' 10, car elle est prioritaire sur l'addition.

 

Voici le calcul avec toutes les étapes :

H = 75 – ( 6 + 3 ' 10 ) : 9 + 6

H = 75 – ( 6 + 30 ) : 9 + 6

H = 75 – 36 : 9 + 6

H = 75 – 4 + 6 (la division est prioritaire)

Maintenant il faut faire les calculs de gauche à droite car il y a une soustraction et une addition :

H = 71 + 6

H = 77

II. Règle de calcul sur les fractions

a, b, c et d sont quatre nombres tels que c ≠ 0 et d ≠ 0.

II.1. Définitions

Définition

Une fraction est une division effectuée entre deux nombres entiers relatifs. Le nombre du haut s’appelle le numérateur et le nombre du bas s’appelle le dénominateur.
On peut simplifier une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier. Le numérateur et le dénominateur de la fraction simplifiée doivent être nécessairement des nombres entiers.

Exemple 1 :

On a divisé le numérateur et le dénominateur de la fraction par un même nombre entier (3). Le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue () sont deux nombres entiers (4 et 5).
Lorsqu’on a simplifié une fraction au maximum, c'est-à-dire lorsqu’on ne peut plus diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par un entier pour obtenir à nouveau deux nombres entiers, on dit que la fraction est irréductible.
Dans l’exemple précédent,  est une fraction irréductible.
 

II.2. Propriétés

a) Addition de fractions

• Propriété

  Lorsque les fractions ont même dénominateur, on peut additionner leurs numérateurs.
  

Exemple 2 :

• Propriété

  Si les dénominateurs sont différents, il faut toujours réduire les deux fractions au même dénominateur.
  

Exemple 3 :

b) Multiplication de fractions

• Propriété

  Pour multiplier deux fractions entre elles, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
  

Exemple 4 :

c) Division de fractions

• Propriété

  Lorsqu’on divise une fraction par une autre fraction, on multiplie la première fraction par l’inverse de la deuxième fraction.
  Avec b et c différents de 0, nous avons :
  

Exemple 5 :

• Remarque

  L’inverse d’un nombre a non nul est .
  L’inverse de  est .

III. Règles de calcul sur les puissances

III.1. Définitions

• Soit a un nombre et n un entier positif.

Définition

Lorsque n est un entier positif non nul, aⁿ représente le résultat de la multiplication de a par lui-même autant de fois qu’indiqué par le nombre n. n est appelé l’exposant.

Exemple 6 :

 Lorsque n est négatif, cela ne veut pas dire que aⁿ sera négatif ! Nous avons un exemple ci-dessus qui le démontre bien : 2^-2 =  = 0,25 > 0.

Définition

On dit qu’un nombre N s’écrit sous forme scientifique lorsqu’on a : 
Avec k un entier relatif  et 1 ≤ n < 10 (ce qui équivaut à dire n appartenant à l’intervalle [1 ; 10[).

Exemple 7 :
3 × 5² n’est pas un nombre écrit sous forme scientifique. En effet, on doit avoir des puissances de 10 ce qui n’est pas le cas ici (on a des puissances de 5).
0,7 × 10³ n’est pas un nombre écrit sous forme scientifique. En effet, 0,7 n’appartient pas à l’intervalle [1 ; 10[.
5,3 × 10^-3 est un nombre écrit sous forme scientifique. 5,5 appartient à l’intervalle [1 ; 10[ et on a des puissances de 10.

III.2. Propriétés

Soit m et n deux entiers relatifs et a et c deux nombres non nuls.

a) Multiplication de puissances

Propriété

• Exemple 8 :
  


•  

b) Quotient de puissances

• Propriété

  

  • Exemple 9 :
    
  
  
  •  

c) Puissance de puissances

• Propriété

  

  Exemple 10 :
  
   

d) Produit de puissances de même exposant

• Propriété

  

  • Exemple 11 :
    

 

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2016-07-21 23:08:44 / mazoughou@magoe.gn