Le calcul littéral c'est du calcul avec des lettres. Ces lettres représentent des nombres inconnus.

Le calcul littéral permet de résoudre des problèmes compliqués en utilisant des équations.
 

Le nombre inconnu est généralement représenté par la lettre x.
Il peut être une distance à parcourir, le cours d'une action en bourse la semaine prochaine, la température dans une ville dans 3 jours,...Les météorologues par exemple utilisent beaucoup de nombres inconnus et font beaucoup de calcul littéral pour réaliser leurs prévisions.

 

Les expressions littérales

En combinant des nombres inconnus avec des nombres connus on obtient des expressions littérales.

Par exemple x+3 et 2x-4 sont des expressions littérales.
Si x=3 elles valent respectivement 6 et 2. 

2x et -4 sont les termes de l'expression littérale 2x-4.
 

Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale c'est écrire cette expression littérale d'une façon plus courte. 

Pour réduire une expression littérale il faut regrouper entre eux les x et les nombres puis les additionner entre eux en tenant compte des signes devant les termes (tu dois maîtriser l'addition et la soustraction des nombres entiers relatifs).

Par exemple 2x-7-6x+9 devient 2x-6x-7+9 puis -4x+2.

Lorsque x est multiplié par x on écrit x².

On ne peut pas additionner des nombres connus avec des x ou des x², ou des x avec des x². Il n'est donc pas possible de réduire une expression du type 3x²+2x+1.
 

Développer une expression littérale

La distributivité

Il y a deux manières de calculer 3×(7+2) : 

- En utilisant les priorités dans les calculs nous obtenons 3×9=27. 
- Mais nous pourrions aussi calculer 3×7 puis ajouter 3×2: .


Pour simplifier l'expression  on ne peut pas calculer en premier la parenthèse car on ne connaît pas la valeur de x. Si on utilise la deuxième méthode, on dit que l'on applique la distributivité. On développe l'expression .
 

Exemples

Remarques

- Développer une expression littérale permet de l'écrire plus simplement afin de pouvoir l'additionner par la suite avec d'autres expressions littérales.
- Lorsqu'il y a un signe moins devant une parenthèse on peut supprimer la parenthèse en changeant les signes des termes à l'intérieur car cela revient à appliquer la distributivité avec le nombre -1.
Exemple: -(3x²-2x+4)=-3x²+2x-4.

 

La double distributivité

Il y a deux manières de calculer un produit de deux sommes. 
- On peut faire .
- Ou bien 


Lorsqu'il y a des nombres inconnus on utilise la deuxième méthode, appelée "double distributivité".

Exemples
 

 

Grandeurs proportionnelles

Si en multipliant par un même nombre les valeurs prises par une grandeur on obtient les valeurs prises par l'autre grandeur alors on dit que ces grandeurs sont proportionnelles.

 

Exemples

La grandeur 1 et la grandeur 2 sont proportionnelles.

 

La grandeur 3 et la grandeur 4 ne sont pas proportionnelles.

 

Les grandeurs sont le plus souvent des unités de mesure : par exemple la distance parcourue par un véhicule peut être proportionnelle à son temps de parcours.

 

Proportionnalité et calculs

Calcul dans un tableau

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel les valeurs prises par la première grandeur sont multipliées pour obtenir celles prises par la deuxième.

Un tableau de proportionnalité est un tableau qui indique les valeurs prises par deux grandeurs proportionnelles.

Si une valeur est manquante dans un tableau de proportionnalité on commence par chercher le coefficient de proportionnalité puis on multiplie ou divise la valeur correspondante par ce coefficient.

 

Exemple

On sait que le prix est proportionnel au poids. Combien va t-on payer si on achète 350 grammes?

1. On cherche le coefficient de proportionnalité en divisant un nombre de la deuxième ligne par le nombre correspondant dans la première ligne. Par exemple 9,1÷140. On trouve 0,065.

2. On écrit ce coefficient à droite du tableau comme ci-dessous.

3. On réalise une multiplication ou une division pour trouver la valeur manquante.
350×0,065=22,75 donc 350 grammes coûtent 22,75 euros.

 

Autre technique : le produit en croix

Méthode
Dans le tableau de proportionnalité on dessine une croix avec une flèche qui dirige vers la valeur manquante.
On multiplie les deux nombres qui sont sur la première diagonale puis on divise par le troisième.

Exemples

- Pour calculer ?₁ on effectue 140×12,22÷9,1.
- Pour calculer ?₂ on effectue 19,63×350÷302.

 

Avec seulement deux colonnes

Les situations de proportionnalité les plus fréquentes se représentent avec seulement 2 colonnes.

Exemples
1. 27 vaches produisent 405 litres de lait. Quelle quantité de lait peut-on espérer obtenir avec 15 vaches?

 

On effectue 405×15÷27. On obtient 225 litres.

2. 27 vaches produisent 405 litres de lait. Combien faut-il de vaches pour produire 765 litres de lait?

 

On effectue 27×765÷405. Il faut 51 vaches.

 

Simplifier une fraction

Simplifier une fraction c'est écrire cette fraction avec des plus petits nombres.

 

Comment simplifier une fraction

Pour simplifier une fraction on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre.

Rappel : une fraction est formée par deux nombres entiers, on ne doit pas obtenir des nombres à virgules.

 

Exemple

Pour simplifier la fraction  on divise son numérateur et son dénominateur par 7.
On obtient .
 

Remarque

Simplifier une fraction ne change pas sa valeur.
En effet  et .
 

Vocabulaire

Lorsqu'il est impossible de simplifier une fraction on dit que la fraction est irréductible.

 

Exemples

 est irréductible.
 n'est pas irréductible.
 

Additionner ou soustraire des fractions

Problème

Cherchons une fraction égale à . 

Comme  et  nous devons trouver une fraction égale à 0,95.

 

Une mauvaise idée

Une mauvaise idée serait d'additionner entre eux les numérateurs et les dénominateurs. On obtiendrait .
 est égal à 0,44 donc cette méthode ne marche pas.
N'additionne jamais les numérateurs et les dénominateurs!

 

Méthode

Pour additionner deux fractions il faut commencer par les écrire sous un même dénominateur. Pour cela on doit transformer l'écriture de l'une des fractions, ou des deux.
 

Méthode

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième et le numérateur et le dénominateur de la deuxième par le dénominateur de la première.

Puis on additionne les numérateurs obtenus et on garde le même dénominateur.

 

Exemple

Pour calculer  +  :

1. On multiplie le numérateur et le dénominateur de  par 5 et le numérateur et le dénominateur de  par 4. On obtient  et .

2. On calcule 15+4 pour obtenir le numérateur et on garde 20 comme dénominateur.

Comme 19÷20=0,95 cette méthode marche!

 

Autre exemple

 

Remarques

1. Parfois pour écrire les fractions sous un même dénominateur il suffit de changer l'écriture de l'une seule des deux. 

Par exemple pour calculer  il n'est pas nécessaire d'écrire les deux fractions sur 200, on peut juste écrire  sur 20 :

 

2. Pour soustraire deux fractions, on utilise la même technique. Par exemple : 
 

 

3. Pour additionner un nombre entier avec une fraction, il faut d'abord écrire le nombre entier sous la forme d'une fraction sur 1 :

 

Multiplier des fractions

Pour multiplier deux fractions on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux.

Par exemple .

 

Diviser des fractions

Inverse d'une fraction

L'inverse d'une fraction c'est quand on intervertit son numérateur et son dénominateur : le numérateur passe en bas et le dénominateur passe en haut.

Exemple
L'inverse de  c'est .

 

Diviser par une fraction

Pour diviser par une fraction on multiplie par son inverse.

Exemple
.

 

Puissance d'un nombre

Une puissance sert à exprimer un nombre qui est multiplié plusieurs fois par lui-même.

Avant de lire ce cours sur les puissances tu dois savoir multiplier des nombres relatifs.
 

On écrit 2⁵ pour simplifier l'écriture du nombre 2×2×2×2×2.
 

Lecture

2⁴ se lit : "2 puissance 4" ou "2 exposant 4".
7¹³ se lit : "7 puissance 13" ou "7 exposant 13".
6² se lit : "6 au carré", "le carré de 6", "6 puissance 2" ou "6 exposant 2".
5³ se lit : "5 au cube", "le cube de 5", "5 puissance 3" ou "5 exposant 3".
 

Exemples

6³=6×6×6=216.
(-7)⁴=(-7)×(-7)×(-7)×(-7)=2401.
10⁴=10×10×10×10=10000.
 

Attention!

(-2)⁴=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=+16 mais -2⁴=-2×2×2×2=-16.
Dans l'écriture -2⁴ la puissance ne s'applique qu'au nombre 2, si on veut l'appliquer au nombre -2 on doit écrire -2 dans une parenthèse. Ce détail est une source d'erreurs fréquente, beaucoup d'élèves écrivent -2⁴=16 alors que -2⁴=-16.

 

Puissance d'exposant négatif ou nul

Exposant négatif

Pour calculer un nombre avec une puissance négative on calcule l' inverse de ce nombre avec une puissance positive.
 

Exemples

 
 

 

Exposant nul

Un nombre à la puissance 0 vaut toujours 1, sauf zéro à la puissance zéro qui n'existe pas.
Par exemple . 
 

 

Calcul avec des puissances

Observe bien : . 

En regroupant les 3, on voit que : .
On pourrait aussi écrire , , , , ou ...

Si x, a et b sont des nombres, on a toujours :

De même on a aussi:

En effet, avec une simplification de fraction, on a par exemple 


Autre remarque : . 
Quels que soient les nombres x, a et b, on a toujours: 

 

Enfin voyons une dernière propriété. Le produit de deux nombres élevés à une même puissance est égal à la puissance du produit de ces deux nombres. En effet , d'où la formule

.

Il est important que tu apprennes les 4 formules encadrées en rouge.

entraîne-toi avec les exercices!

 

3 - Identités remarquables

Les identités remarquables sont des propriétés qui permettent d'aller plus vite quand on fait du calcul littéral.

 

Première identité remarquable

L'égalité  est la première identité remarquable.
 

Démonstration

Si a et b sont 2 nombres, nous pouvons développer (a+b)²:

 

Exemple

Développement de .
Avec nos connaissances de quatrième, on aurait .
Avec la première identité remarquable, on obtient directement le résultat.

 

Attention!

Le carré de 2x c'est 2x fois 2x soit  ou  donc 4x².
Une erreur fréquente est d'écrire que le carré de 2x est 2x²!
Pour éviter cette erreur on utilise des parenthèses. 
Exemple :
.

 

Deuxième identité remarquable

L'égalité  est la deuxième identité remarquable.
 

Démonstration

.
 

Exemple

(3x-4)²=(3x)²-2×3x×4+4²=9x²-24x+16

 

Troisième identité remarquable

L'égalité  est la troisième identité remarquable.
 

Démonstration

.
 

Exemple

(2x+3)(2x-3)=(2x)²-3²=4x²-9.

 

Utiliser les identités remarquables

Méthode

• 1. On repère l'identité remarquable que l'on va utiliser.
• 2. On l'applique en remplaçant a et b par les valeurs données.
  
   

2 - Factorisation

La factorisation est une technique de calcul littéral qui consiste à écrire une somme de deux expressions littérales sous la forme d'un produit : la forme factorisée de ab+ac c'est a×(b+c).

Factoriser une expression est donc le contraire de développer une expression.

La factorisation permet de résoudre des équations et donc des problèmes compliqués.

 

Factoriser une expression

Méthode

• 1. On cherche un "facteur commun" aux termes de l'expression. Il doit être un diviseur de chaque terme. 
  Exemple : un facteur commun de 3x+15 est 3.
   
• 2. On écrit ce facteur commun et on ouvre une parenthèse: 3( 
   
• 3. On écrit dans la parenthèse le résultat du quotient des termes par le facteur commun puis on ferme la parenthèse : 3(x+5).
   

 

Factorisation plus compliquée

Pour factoriser une expression plus compliquée du genre (x+2)(x+3)+(x+2)(x+4) on utilise la même méthode mais à l'étape 2 on ouvre un crochet.
 

Exemples

 

Factoriser avec les identités remarquables

Parfois on ne trouve pas de facteur commun. Dans ce cas on peut essayer d'utiliser une identité remarquable.
 

Exemple : factoriser x²-4

On sait que a²-b²=(a+b)(a-b). Donc x²-4=x²-2²=(x+2)(x-2).
 

Remarque

Les expressions littérales ne sont pas toujours factorisables, par exemple pour x²+2x+3 on ne peut pas trouver de facteur commun ni utiliser d'identité remarquable.

 

Après la factorisation : l'équation produit

Après une factorisation on doit souvent résoudre une équation produit.
Une équation produit est une équation dans laquelle le produit de deux expressions littérales est nul.

Exemple
 est une équation produit. 

Remarque
Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul. 
Si a×b=0 alors a=0 ou b=0 (ou les deux).

Résolution d'une équation produit
Pour résoudre (2x+4)(3x-9)=0 on cherche donc les solutions des équations 2x+4=0 et 3x-9=0.
On obtient deux solutions : x=-2 et x=3.
 

 

Exemple : résolution d'une équation compliquée

Résolution de l'équation .

• 1. On commence par factoriser .

  

• 2. On doit donc résoudre . C'est une équation produit.
• 3. x+4=0 ou x-6=0, donc x=-4 ou x=6. Les solutions de cette équation sont -4 et 6.

---

2016-07-21 23:07:57 / mazoughou@magoe.gn