DÉFINITION

Développer un produit, c'est l'écrire sous la forme d'une somme (ou d'une différence).

RAPPEL

•  Une expression est une somme (algébrique) si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une addition ou une soustraction.

•  Une expression est un produit si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une multiplication.

Par exemple :

•  3×5−2×45 et 2x+8y sont des sommes algébriques

•  5×(3+8) et (x+1)(y−5) sont des produits.

PROPRIÉTÉS (DISTRIBUTIVITÉ)

• k(a+b)=ka+kb

• k(a−b)=ka−kb

•  (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

EXEMPLES

Développer les expressions suivantes:

•  A=3(x−2)

  A=3x−6

•  B=(x+3)(2x−5)

  B=2x​²â€‹â€‹−5x+6x−15

  B=2x​²â€‹â€‹+x−15

PROPRIÉTÉS (IDENTITÉS REMARQUABLES - DÉVELOPPEMENT)

• (a+b)​²â€‹â€‹=a​^{2​​}+2ab+b​^{2​​}

•  (a−b)​²â€‹â€‹=a^​2​​−2ab+b​^{2​​}

• (a+b)(a−b)=a^​2​​−b​^{2​​}

EXEMPLES

Développer les expressions suivantes:

•  C=(x+1)^{​2​​}

  C=x​²â€‹â€‹+2*x*1+1^​2​​ (première identité remarquable avec a=x et b=1). C=x​²â€‹â€‹+2x+1

•  D=(2x−1)​^{2​​}

  D=4x^​2​​−2×2x×1+1​²â€‹â€‹ (seconde identité remarquable avec a=2x et b=1) D=4x​²â€‹â€‹−4x+1

•  E=(x+2)(x−2)

  E=x​^{2​​}−2^​2​​ (troisième identité remarquable avec a=x et b=2) E=x^​2​​−4