DÉFINITION

Factoriser une somme (ou une différence), c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

PROPRIÉTÉS

•  ka+kb=k(a+b)

•  ka−kb=k(a−b)

k est le facteur commun

EXEMPLES

Factoriser les expressions suivantes:

•  A=(x+3)(x+2)−7(x+2)

  Le facteur commun est (x+2)

  A=(x+2)[(x+3)−7]

  A=(x+2)(x−4)

•  B=(2x+1)^{​2​​}−(2x+1)(x+3)

  B=(2x+1)(2x+1)−(2x+1)(x+3)

  Le facteur commun est (2x+1)

  B=(2x+1)[(2x+1)−(x+3)]

  B=(2x+1)(2x+1−x−3)

  B=(2x+1)(x−2)

REMARQUES

•  Avec des carrés : Pour factoriser (x+1)^​2​​+(x+1)(x+2), on utilise le fait que (x+1)^​2​​=(x+1)(x+1) ce qui fait apparaître le facteur commun (x+1) :

  (x+1)​²â€‹â€‹+(x+1)(x+2)=(x+1)(x+1)+(x+1)(x+2)

  =(x+1)[(x+1)+(x+2)] =(x+1)(2x+3)

•  Attention à ne pas oublier le 1 ! Pour factoriser x^​2​​−x on écrit que x^​2​​=x×x et x=x×1;

  x est alors facteur commun :

  x​²â€‹â€‹−x=x×x−x×1=x(x−1)

PROPRIÉTÉS (IDENTITÉS REMARQUABLES - FACTORISATION)

•  a^​2​​+2ab+b​²â€‹â€‹=(a+b)​²â€‹â€‹

•  a^​2​​−2ab+b^​2​​=(a−b)​^{2​​}

•  a^{​2​​}−b​²â€‹â€‹=(a+b)(a−b)

EXEMPLES

Factoriser les expressions suivantes:

•  C=x^​2​​−6x+9

  C=x^{​2​​}−2×x×3+3^{​2​​}

  C=(x−3)​²â€‹â€‹ (seconde identité remarquable avec a=x et b=3)

•  D=25x​²â€‹â€‹−4

  D=(5x)​²â€‹â€‹−2​^{2​​}

  D=(5x+2)(5x−2) (troisième identité remarquable avec a=5x et b=2)