Arithmétique

I. Divisibilité :

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.

On dit que b divise a ou que a est divisible par b ou bien encore que a est un multiple de b

$\Longleftrightarrow\,\exists k \in \mathbb{Z} \,,\, a=k\times b$

on note alors b/a .

Exemple :

$15=5\times 3$

donc 5 divise 15, 3 divise 15, 15 est un multiple de 5 et de 3.

II. Propriétés :

Propriétés :

Soient $(a;b)\in\mathbb{Z^2}$ .

$\bullet \forall a\in \mathbb{Z^*}\,,\,0/a .\\ \bullet a/b\Longrightarrow |a|\le |b|.\\ \bullet a/b\,;\,b/a\Longrightarrow a=+-b\\ \bullet a/b\,;\,b/c\Longrightarrow a/c.\\ \bullet a/b\,;\,a/c \Longrightarrow a/(b+c)\,;\,a/(b-c)\,;\,\forall (x,y)\in\mathbb{Z^2}\,,\,a/(bx+cy).\\ \bullet a/b \Longrightarrow (a\times c)/(b\times c)$

III. Définition :

Définition :

Un entier $n\ge 2$ est dit premier s’il n’admet dans $\mathbb{N}$ aucun autre diviseur que lui-même et 1 .

Ensemble des nombres premiers

L’ensemble des nombres premiers, noté $\mathbb{P}$ est un ensemble infini.

$\mathbb{P}=\{ 2,3,5,7,11,13,17,....\}$ .

IV. Théorème fondamental de l’arithmétique :

1. Décomposition en facteurs premiers :

Théorème:

Soit $n\in\mathbb{N}$ .

L’entier n se décompose de manière unique, à l’ordre près, sous forme de produit de nombres premiers.

$n={p_1}^{a_1}\times {p_2}^{a_2} \times .....\times {p_r}^{a_r}=\prod_{k=1}^r {p_k}^{a_k}$ .

2. Division euclidienne :

Theoreme:

Soient a et b deux entiers relatifs tels que $b\neq 0$

alors Il existe un unique couple d’entiers (q,r) tel que :

$\fbox{a=bq+r\,\,,0\le r<| b|}$

Remarque :

Que l’on soit dans $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{Z}$ , le reste r est toujours positif ou nul.

3. Congruences :

Definition :

On dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo n s’ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Si c’est le cas, on note $\fbox{a\equiv b [n]}$ .

Exemple :

18=5×3+3 et 27=8×3+3.

18 et 27 ont le même reste (r=3) lors de la division euclidienne par 3

donc

$\fbox{27\equiv 18 [3]}$

Proprietes :

$\bullet a\equiv b [n] \Longleftrightarrow a-b\equiv 0[n]\\\Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb{N}\,,\,a-b=k\times n$

$\bullet a\equiv b [n]\,;\, a'\equiv b' [n]\Longleftrightarrow a+a'\equiv b+b'[n] \\ \Longleftrightarrow a\times a'\equiv b\times b'[n]\\ \Longleftrightarrow a^p\equiv b^p[n] (p\in\mathbb{N})$

4. Plus commun diviseur (pgcd) et plus petit commun multiple (ppcm) :

a. Definition du pgcd(a,b)

Definition :

Soient a et b deux entiers relatifs.

L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément nommé le pgcd(a,b).

On note aussi a^b.

b. Proprietes du pgcd(a,b)

Proprietes :

Soit k un entier non nul.

Si k divise a et b alors :

$\bullet pagcd(\frac{a}{k},\frac{b}{k})=\frac{1}{k}pgcd(a,b)\\ \bullet pgcd(ka,kb)=k\times pgcd(a,b) .$

Remarque :

On peut déterminer le pgcd(a,b) de trois manières :

• par décomposition des deux nombres ;

• par une succession de divisions euclidiennes, le dernier reste non nul etant le pgcd(a,b) (theoreme d’Euclide);

• par le théorème de Bezout (voir plus loin….)

c. Définition du ppcm(a,b)

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs.

L’ensemble des multiples communs à a et b admet un plus petit élément nommé leppcm(a,b).

On note aussi : a v b .

Propriete :

Soient $(a,b)\in \mathbb{ZxZ}.$

$\fbox{pgcd(a,b)\times ppcm(a,b)=|ab|}.$

V. Théorème de Bezout :

Proposition :

Soit d= pgcd(a,b) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

$\fbox{a\times u+b\times v = d}.$

Propriété :

Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a,b)=1 .

Corollaire 1 :

$\fbox{ pgcd(a,b)=1 \Longleftrightarrow \exists (u,v)\in\mathbb{Z^2}\,,\,au+bv=1}.$

Corollaire 2 :

$pgcd(a,b)=d \Longleftrightarrow {a=a'd\\ b=b'd\\\exists (u,v)\in\mathbb{Z^2}\,,\,a'u+b'v=1.$

VI. Théorème de Gauss:

Théorème :

Si a divise bc et a premier avec b alors a divise c

Exemple :

5 divise 70=7×10

or 5 est premier avec 7

donc d’après le theoreme de Gauss 5 divise 10.

2018-11-01 14:01:53 / mazoughou@magoe.gn

Arithmétique

I. Divisibilité :

II. Propriétés :

III. Définition :