I. Généralités

1. Définition

Théorème 1 (Définition de l'exponentielle)

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur ℝ telle que  pour tout x et .

Cette fonction est appelée exponentielle et est notée "exp". exp(x) se lit "exponentielle de x" ou "exponentielle x".

Preuve : L'existence d'une telle fonction est admise.

Montrons qu'il n'existe pas 2 fonctions admettant ces propriétés.

Tout d'abord, montrons qu'une telle fonction ne s'annule pas.

On appelle φ la fonction définie sur â„ par 

La fonction f étant dérivable sur ℝ, par produit la fonction φ l'est aussi, et 

(Car )

Donc . La fonction φ est par conséquent constante.

Puisque , on en déduit que .

Donc, pour tout x, . La fonction f ne s'annule par conséquent jamais.

Considérons maintenant une autre fonction g dérivable sur ℝ, vérifiant  et .

On appelle h la fonction définie sur ℝ par  (f ne s'annulant pas, h est bien définie).

h est dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas.

La fonction h est donc constante. De plus, . Donc, pour tout x, .

Ce qui signifie donc que . La fonction f est bien unique.

2. Propriétés fondamentales

Propriété 1 : Pour tout a et b appartenant à ℝ, on a .

Preuve : On considère la fonction f définie sur ℝ par .

Cette fonction est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables.

C'est-à-dire 

La fonction f est donc constante. Or, .

Pour tout x, on a donc , en particulier .

Propriété 2 : La fonction exponentielle est strictement positive.

Preuve : Pour tout x, on peut écrire .

D'après la propriété précédente, on a : 

(D'après la preuve du théorème-définition, elle ne s'annule pas).

Propriété 3 : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Preuve : On sait que, pour tout x, . Or, , donc .

Propriété 4 (Opérations) : Soit a et b deux réels et n un entier relatif.

• ​

• ​

• ​

Preuve :

Donc 

Considérons tout d'abord que n ∈ ℕ​. Démontrons la propriété par récurrence.

Initialisation : La propriété est évidemment vraie pour n = 0

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n : 

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang n, elle l'est encore au rang suivant. Donc, pour tout n ∈ â„•, .

Considérons maintenant un entier relatif n strictement négatif. Alors, -n ∈ â„•.

Exemples :

II. Notation e^x

Notation : exp(1) est noté e (une valeur approchée est 2,7182).

D'après la propriété 4, on a, pour tout n ∈ ℤ, en prenant 

Définition 1

On généralise cette écriture pour tous les réels x : exp(x) = e^x

Propriété 5 :

• ​La fonction exp(x) → e^x est dérivable sur ℝ et sa dérivée est elle-même.
• Soit a et b deux réels. On a :
  
• Soit n un entier relatif et a un réel, e^na = (e^a)ⁿ
• e⁰ = 1 et pour tout réel x, e^x > 0

III. Étude de la fonction exponentielle

Propriété 6 :

Preuve : Montrons que pour tout x ≥ 0, e^x ≥ x

On appelle f la fonction définie sur ℝ par 

f est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables et .

Or, pour tout x ≥ 0, puisque la fonction exponentielle est croissante, e^x ≥ e⁰ = 1. Donc, pour tout x ≥ 0, .

La fonction f est donc croissante sur ℝ+ et .

Par conséquent, pour tout x ≥ 0, e^x ≥ x

Or, 

D'après le théorème des croissances comparées :

Car 

Propriété 7 :

1. Pour tout n ∈ â„•*,  et 

2. On a aussi 

Preuve :

1. On ne prouvera que la propriété pour n = 1.

On considère la fonction f définie sur ℝ+ par .

La fonction f est dérivable et .

On a montré, dans la preuve précédente, que f' était croissante sur ℝ+ et que .

Par conséquent, pour tout x ≥ 0,  et f est croissante sur ℝ+.

Or, . Cela signifie donc que pour tout x ≥ 0,  et par conséquent, .

Or, . D'après le théorème de comparaison, on a : 

2. â€‹ puisque la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ donc en 0 en particulier.

IV. Résolution d'équation et d'inéquation

Propriété 8 : Soit a et b deux réels.

1. e^a = e^b ↔︎ a = b

2. e^a < e^b ↔︎ a < b

Exemples :

1. Résoudre e^-x+4 = e^x+1

Cela équivaut à -x + 4 = x + 1 soit 3 = 2x et donc x = 1,5.

La solution de l'équation est 1,5.

2. Résoudre e^2x+4 < e⁵

Cela signifie donc que 2x + 4 < 5 soit 2x < 1 d'où x < 1/2

La solution de l'inéquation est l'intervalle ]-∞ ; 0,5]

V. Exponentielle et fonctions composées

Propriété 9 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors, la fonction fdéfinie par  est dérivable sur I et 

Exemple : Considérons la fonction f définie sur ℝ par 

La fonction u : x → x² + 3x - 4 est dérivable sur ℝ. Donc f est également dérivable sur ℝ et .

Puisqu'une exponentielle est toujours positive, le signe de f'(x) ne dépend donc que de celui de 2x + 3 .

En utilisant les limites du terme de plus haut degré :

Donc 

Donc â€‹

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2018-10-06 06:46:19 / mazoughou@magoe.gn