1 - Définition des puissances - Notation puissance

Connaissant les fonctions logarithme et exponentielle, on peut définir une nouvelle notation pour les puissances.

fonction exponentielle de base a

Soit a > 0 et α ∈ . 
On a alors : 
 

a^α = e^{α ln a}

Pour tout réel strictement positif a, l'application  est appelée fonction exponentielle de base a.

Rappellez-vous, les fonctions logarithme et exponentielle sont réciproques. Donc quand on compose par ln le nombre , ce qui donne ln (), la puissance vient devant le logarithme, par propriété de cette fonction, donc &alpha\; ln(a). Et lorsque l'on compose ensuite par l'exponentielle, on revient à la case départ : a^α = e^{α ln a}.

2 - Propriétés des puissances

Un petit rappel des propriétés concernant les puissances.

Règles de calcul des puissances

Voici les propriétés sur les puissances, a et b non nuls et m et n entiers : 

3 - II - Etude de la fonction  avec a > 0

Soit f(x) = a^α = e^{α ln a}. 

f est définie et dérivable sur  comme composition de fonction dérivables. 

Calculons sa dérivée : 
 

f '(x) = (ln a)e^{x ln a} = a^x ln a

A présent, nous allons distinguer deux cas : a < 1 et a > 1.

Cas a < 1 : 

La dérivée a^α = e^{α ln a} < 0. 

Calcul des limites : 
 

Son tableau de variations : 
 

Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie : . 
 

Cas a > 1 : 

La dérivée a^α = e^{α ln a} > 0. 

Calcul des limites : 
 

Son tableau de variations : 
 

Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie : . 
 

4 - Croissance comparée