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Equations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées successives.

Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 sont des équations différentielles de la forme

ay'+by=c\,

où ab et c sont des fonctions que l'on supposera continues.

Ces équations peuvent être résolues par des procédés systématiques, faisant appel au calcul de primitives. Dans certains cas particuliers, par exemple lorsque c est nulle (on parle alors d'équations différentielles linéaires homogènes), on peut espérer obtenir des expressions explicites des solutions à l'aide des fonctions usuelles.

Équation différentielle linéaire homogène

À coefficients constants

Ce sont les équations qui se ramènent à y'+ky=0 où k est un réel. On rencontre ce type d'équations :

  • avec k positif dans la modélisation de la décroissance radioactive dans un milieu homogène et fermé ;
  • avec k négatif lors de la modélisation de la croissance exponentielle d'une population. Ce modèle possède cependant ses limites, la population ne pouvant pas, dans un milieu fermé, croître indéfiniment. On lui préfère alors le modèle de Verhulst ou le modèle de Gompertz.

Les solutions d'une telle équation sont les fonctions définies sur ℝ par

f(x)=Ce^{{-kx}}

où C est un réel dont la valeur se détermine dès que sont connues les conditions initiales : si pour x_{0} on a f(x_{0})=y_{0} alors C=y_{0}e^{{kx_{0}}}.

Cas général

Dans le cas général, l'équation différentielle linéaire homogène s'écrit

{\displaystyle a(x)y'(x)+b(x)y(x)=0}

ou en abrégé :

{\displaystyle ay'+by=0}.

En travaillant sur un intervalle I où la fonction a ne s'annule pas, et en notant

A une primitive de la fonction {\displaystyle {\frac {b}{a}}},

les solutions sur I sont les fonctions de la forme

{\displaystyle y(x)=K\mathrm {e} ^{-A(x)}}

où K est une constante dont la valeur se détermine par la donnée des conditions initiales.

Le calcul de primitive A n'est pas toujours réalisable à l'aide des fonctions usuelles ; la solution peut donc n'avoir qu'une expression sous forme d'intégrale.

Équation différentielle linéaire avec second membre

Si l'équation différentielle possède un second membre (si c est une fonction non nulle), il suffit de trouver une solution particulière f_0 de l'équation pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions f_{0}+g où g est une solution générale de l'équation homogène.

Le problème est souvent de déterminer cette solution particulière.

Si c est la somme de deux fonctions c1 et c2, on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c1, puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c2, puis faire la somme de ces deux solutions particulières. On obtient alors une solution particulière de l'équation de départ.

Cas où ab et c sont des constantes non nulles

Nous obtenons des équations du type y'=my+p. Ces équations servent à modéliser, par exemple, la charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.

L'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur ℝ par

f(x)=Ce^{{mx}}-{\frac  pm}

où C est un réel se déterminant par la donnée des conditions initiales, par exemple, f(x_{0})=y_{0}, ce qui donne alors :

f(x)=\left(y_{0}+{\frac  pm}\right)e^{{-mx_{0}}}e^{{mx}}-{\frac  pm}.

Cas où a et b sont des constantes non nulles et c une fonction polynomiale ou trigonométrique

On cherchera alors une solution particulière de la forme

  • d'un polynôme de degré n si c est un polynôme de degré n ;
  • d'une combinaison linéaire de \cos(\omega x+\phi ) et \sin(\omega x+\phi ) si c(x)=A\cos(\omega x+\phi )+B\sin(\omega x+\phi ).

Cas général

Une méthode de résolution d'une équation avec second membre

ay'+by=c

est la méthode de variation des constantes. Celle-ci consiste à se ramener, par un changement de fonction variable, à un problème de calcul de primitive.

On trouve ainsi1, en supposant à nouveau que la fonction a ne s'annule pas sur l'intervalle I et que

A est une primitive sur I de la fonction {\displaystyle {\frac {b}{a}}},

que les fonctions ay'+by=c sont les fonctions de la forme

{\displaystyle y(x)=\mathrm {e} ^{-A(x)}B(x)},

où B est une primitive quelconque de la fonction {\displaystyle {\frac {c}{a}}\mathrm {e} ^{A}}.

Soit finalement, en fixant un point {\displaystyle x_{0}\in I} :

{\displaystyle y(x)=\mathrm {e} ^{-A(x)}\left(K+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {c(s)}{a(s)}}\mathrm {e} ^{A(s)}\ \mathrm {d} s\right)},

où K est, à nouveau, une constante déterminée par les conditions initiales.

Il faut donc réaliser un second calcul de primitive, ce qui peut empêcher de donner l'expression de la solution à l'aide des fonctions usuelles.

 

Intérêt des équations différentielles

Les équations différentielles sont utilsées dans beaucoup de chapitres de physique.
En électricité, l’évolution des tensions et de l’intensité dans un cricuit RL, RC ou RLC est régie par une équation différentielle, parfois avec des dérivvées secondes.
En mécanique, la 2ème loi de Newton comporte l’accélération, qui est la dérivée seconde de la position. Cette loi nous donne souvent des équations différentielles.
En radioactivité, la loi de décroissance radioactive provient d’une équation différentielle.
Bien d’autres domaines de la physique comportent des équa diff, il est alors indispensable de savoir les résoudre afin de connaître l’évolution du système. 

 


2017-01-13 11:40:53

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