Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées successives.
Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 sont des équations différentielles de la forme
où a, b et c sont des fonctions que l'on supposera continues.
Ces équations peuvent être résolues par des procédés systématiques, faisant appel au calcul de primitives. Dans certains cas particuliers, par exemple lorsque c est nulle (on parle alors d'équations différentielles linéaires homogènes), on peut espérer obtenir des expressions explicites des solutions à l'aide des fonctions usuelles.
Équation différentielle linéaire homogène
À coefficients constants
Ce sont les équations qui se ramènent à où k est un réel. On rencontre ce type d'équations :
- avec k positif dans la modélisation de la décroissance radioactive dans un milieu homogène et fermé ;
- avec k négatif lors de la modélisation de la croissance exponentielle d'une population. Ce modèle possède cependant ses limites, la population ne pouvant pas, dans un milieu fermé, croître indéfiniment. On lui préfère alors le modèle de Verhulst ou le modèle de Gompertz.
Les solutions d'une telle équation sont les fonctions définies sur â„ par
où C est un réel dont la valeur se détermine dès que sont connues les conditions initiales : si pour on a alors .
Cas général
Dans le cas général, l'équation différentielle linéaire homogène s'écrit
ou en abrégé :
.
En travaillant sur un intervalle I où la fonction a ne s'annule pas, et en notant
une primitive de la fonction ,
les solutions sur I sont les fonctions de la forme
où K est une constante dont la valeur se détermine par la donnée des conditions initiales.
Le calcul de primitive A n'est pas toujours réalisable à l'aide des fonctions usuelles ; la solution peut donc n'avoir qu'une expression sous forme d'intégrale.
Équation différentielle linéaire avec second membre
Si l'équation différentielle possède un second membre (si c est une fonction non nulle), il suffit de trouver une solution particulière de l'équation pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions où g est une solution générale de l'équation homogène.
Le problème est souvent de déterminer cette solution particulière.
Si c est la somme de deux fonctions c1 et c2, on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c1, puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c2, puis faire la somme de ces deux solutions particulières. On obtient alors une solution particulière de l'équation de départ.
Cas où a, b et c sont des constantes non nulles
Nous obtenons des équations du type . Ces équations servent à modéliser, par exemple, la charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.
L'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur â„ par
où C est un réel se déterminant par la donnée des conditions initiales, par exemple, , ce qui donne alors :
Cas où a et b sont des constantes non nulles et c une fonction polynomiale ou trigonométrique
On cherchera alors une solution particulière de la forme
- d'un polynôme de degré n si c est un polynôme de degré n ;
- d'une combinaison linéaire de et si
Cas général
Une méthode de résolution d'une équation avec second membre
est la méthode de variation des constantes. Celle-ci consiste à se ramener, par un changement de fonction variable, à un problème de calcul de primitive.
On trouve ainsi1, en supposant à nouveau que la fonction a ne s'annule pas sur l'intervalle I et que
est une primitive sur I de la fonction ,
que les fonctions sont les fonctions de la forme
,
où est une primitive quelconque de la fonction .
Soit finalement, en fixant un point :
,
où K est, à nouveau, une constante déterminée par les conditions initiales.
Il faut donc réaliser un second calcul de primitive, ce qui peut empêcher de donner l'expression de la solution à l'aide des fonctions usuelles.
Intérêt des équations différentielles
Les équations différentielles sont utilsées dans beaucoup de chapitres de physique.
En électricité, l’évolution des tensions et de l’intensité dans un cricuit RL, RC ou RLC est régie par une équation différentielle, parfois avec des dérivvées secondes.
En mécanique, la 2ème loi de Newton comporte l’accélération, qui est la dérivée seconde de la position. Cette loi nous donne souvent des équations différentielles.
En radioactivité, la loi de décroissance radioactive provient d’une équation différentielle.
Bien d’autres domaines de la physique comportent des équa diff, il est alors indispensable de savoir les résoudre afin de connaître l’évolution du système.
2017-01-13 11:40:53
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