On s'intéresse ici aux équations différentielles de la forme ay″+by′+cy=0 où : 
y désigne une fonction de la variable t, 
y′ désigne la dérivée de y,
et y″ désigne la dérivée seconde de y, c'est à dire la dérivée de y′
les coefficients a, b et c sont des constantes réelles.

Pour résoudre une équation de ce type, on commence par écrire son équation caractéristique .

Equation caractéristique associée à une équation différentielle

Définition : L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle ay″+by′+cy=0 est l'équation d'inconnue r : ar²+br+c=0.

On résout cette équation dans .

On a donc trois cas selon que Δ=b²−4ac est strictement positif , nul , ou strictement négatif .

Cas 1 : Δ > 0

Théorème : 
Si l'équation caractéristique ar²+br+c=0 a deux solutions réelles r1 et r2, alors l'équation différentielle ay''+by'+cy=0 admet comme solutions les fonctions : 

y=he^r1t+ke^r2t,

où h et k sont deux constantes réelles quelconques. Il y a donc une (double) infinité de solutions à cette équation.

Cas 2 : Δ = 0

Théorème : Si l'équation caractéristique ar²+br+c=0 a une solution réelle r1 , alors l'équation différentielle ay''+by'+cy=0 admet comme solutions les fonctions : 

y=(ht+k)e^r1t,

où h et k sont deux constantes réelles quelconques.
Il y a donc une (double) infinité de solutions à cette équation.

Cas 3 : Δ < 0

Théorème : Si l'équation caractéristique ar²+br+c=0 a deux solutions complexes non réelles r1=α+iβ et r2=α−iβ, alors l'équation différentielle ay″+by′+cy=0 admet comme solutions les fonctions : 

y=(hcos(βt)+ksin(βt))e^αt,

où h et k sont deux constantes réelles quelconques.
Il y a donc une (double) infinité de solutions à cette équation.

Conditions initiales

Une équation différentielle de la forme ay″+by′+cy=0 admet une infinité de solutions dépendant de deux constantes h et k. Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie des conditions initiales de la forme f(t₀)=y₀ et f'(t₀)=z₀.

Pour traduire ces conditions, on doit donc commencer par dériver la formule trouvée pour la solution générale (sans oublier que h et k sont deux constantes).

En écrivant ces conditions, on obtient un système de deux équations à deux inconnues h et k, qui se résout à l'aide des méthodes "habituelles". Quand t₀=0, le système obtenu est en général simple à résoudre.

Remarque : D'autres types de conditions initiales peuvent également, selon les cas, donner une solution unique les vérifiant. Il faut en général deux conditions pour trouver les deux constantes.