Ensembles

• On appelle élément d'un ensemble E tout objet qui appartient à E.
• Si E et F sont deux ensembles, on dit que E est une partie de F, que E est un sous-ensemble de F, ou encore que E est inclus dans F si tout élément de E est aussi élément de F. On note E⊂F.
• Il existe un unique ensemble qui ne contient aucun élément, l'ensemble vide. Il est noté ∅.
• Un ensemble peut être écrit en extension, c'est-à-dire que l'on donne la liste de tous ses éléments, ou en compréhension, c'est-à-dire que l'on définit cet ensemble par une propriété. Par exemple, A={2,3,4,5} est défini en extension, et B={n∈N; 2≤n<6} est défini en compréhension. Remarquons que A=B.
• L'ensemble des parties de E est lui-même un autre ensemble, appelé ensemble des parties et noté P(E).
• Étant donné un ensemble E et deux parties A et B de E, on peut définir
  • la réunion de A et B, noté A∪B. A∪B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.

    

  • l'intersection de A et B, noté A∩B. A∩B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B.

    

  • la différence A∖B : A∖B est l'ensemble des éléments qui sont dans A, mais pas dans B.

    

  • le complémentaire de A dans E, noté A¯, ou C_EA, ou E∖A, l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A.

    

• Si A et B sont deux ensembles, le produit cartésien de A et B, noté A×B, est l'ensemble constitué de tous les couples (a,b), où a est un élément de A et b est un élément de B.

Applications

• Une application ou fonction de E dans F associe à tout élément de E un élément de F. L'ensemble des applications de E dans F est noté F(E,F), ou F^E.
• On appelle graphe de l'application f:E→F la partie Γ de E×F définie par

  Γ={(x,f(x)); x∈E}.

• Si A est une partie de E, la fonction indicatrice de A, notée 1_A, est la fonction définie par

  

• Si E est un ensemble, la fonction identité de E est la fonction Id_E, définie de Edans E par Id_E(x)=x.
• Si f est une fonction de E dans F, on appelle restriction de f à A, et on note f_|A la fonction définie sur A par

  f_|A(x)=f(x).

• Si A est une partie de l'ensemble E, et si f est une application de A dans F, on appelle prolongement de f à E toute fonction g:E→F vérifiant g(x)=f(x) si x∈A. Notons qu'il peut exister plusieurs prolongements d'une application à un ensemble donné.
• Si f est une application de E dans F et si A est une partie de E, on appelle image directe de A par f l'ensemble f(A)={f(x); x∈A}. Ainsi,

  y∈f(A)⟺∃x∈A, y=f(x)..

• Si f est une application de E dans F et si B est une partie de F, on appelle image réciproque de B par f l'ensemble f⁻¹(B)={x∈E; f(x)∈B}. Ainsi,

  x∈f⁻¹(B)⟺f(x)∈B.

• Si E, F et G sont 3 ensembles et si f:E→F et g:F→G sont deux applications, on appelle application composée de f et g l'application noté g∘f:E→G définie par la formule

  g∘f(x)=g(f(x)).

Injection, surjection, bijection

• Soit f:E→F une application. On dit que f est
  • injective si, pour tout y∈F, l'équation y=f(x) admet au plus une solution x∈E;
  • surjective si, pour tout y∈F, l'équation y=f(x) admet au moins une solution x∈E;
  • bijective si, pour tout y∈F, l'équation y=f(x) admet exactement une solution x∈E;
• f:E→F est injective si, et seulement si, pour tout couple (x,x′)∈E², si f(x)=f(x′), alors x=x′.
• La composée de deux injections est une injection; la composée de deux surjections est une surjection; la composée de deux bijections est une bijection.
• Si f:E→F est une bijection, il existe une unique application notée f⁻¹, définie de F dans E, telle que

  f∘f⁻¹=Id_F et f⁻¹âˆ˜f=Id_E.

  f⁻¹ est appelée fonction réciproque de f. On a

  y=f(x)⟺x=f⁻¹(y).

• Si f:E→F et g:F→G sont bijectives, alors

  (g∘f)⁻¹=f⁻¹âˆ˜g⁻¹.

Relations

• On appelle relation binaire sur un ensemble E la donnée d'une partie Γ de E×E. On écrit xRy si (x,y)∈Γ.
• On dit que la relation R est
  • réflexive si, pour tout x∈E, xRx.
  • symétrique si, pour tous x,y∈E, si xRy, alors yRx.
  • anti-symétrique si, pour tous x,y∈E, si xRy et yRx, alors x=y.
  • transitive si, pour tous x,y,z∈E, si xRy et yRz, alors xRz.
• Une relation d'équivalence est une relation réflexive, symétrique, transitive.
• Si R est une relation d'équivalence et x est un élément de E, on appelle classe d'équivalence de x l'ensemble des éléments y de E tels que xRy.
• Une relation d'ordre est une relation réflexive, anti-symétrique, transitive.
• Si R est une relation d'ordre sur E, alors
  • on dit que l'ordre est total si on peut toujours comparer deux éléments de E : pour tous x,y∈E, on a xRy ou yRx. Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.
  • si A est une partie de E et M est un élément de E, on dit que M est un majorant de A si, pour tout x∈A, on a xRM.