La trigonométrie

Nous allons voir ici une nouvelle façon de mesurer les angles et des nouvelles propriétés des fonctions sinus et cosinus. Cela sert surtout aux sciences physiques (en électricité et pour l'étude de tous les phénomènes oscillatoires) ainsi qu'en géométrie.

Angle orienté

Jusqu'à présent les mesures des angles étaient toujours des nombres positifs. On pouvait mesurer un angle dans n'importe quel sens en obtenant toujours le même résultat.

Nous avons maintenant besoin d'un sens pour mesurer les angles. Suivant le sens dans lequel on les mesurera, les angles pourront être positifs ou négatifs.

Les mathématiciens ont défini le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique, pour des mesures positives, et le sens contraire pour des mesures négatives.

On appelle angle orienté un angle mesuré avec cette règle. Un angle orienté s'écrit à l'aide de deux vecteurs qui le forment.

angle

Angle géométrique :
angle

Angles orientés :
angle

Le radian

Le radian est une unité de mesure d'angle. On exprime toujours un angle orienté en radians.

Construction du radian

On prend un cercle de rayon 1 et on colle dessus un bout de ficelle de longueur 1.
Un radian est la mesure de l'angle formé par le centre du cercle et les 2 extrémités de la ficelle.

angle angle

Un angle qui mesure x radians est obtenu avec un morceau de ficelle de longueur x.

Conversions radians/degrés

Si nous réalisons un tour complet (360 degrés), la formule du périmètre du cercle donne périmètre cercle donc . Donc .

Autres exemples

cercle trigonométrique

Remarque : Il n'est pas possible de faire des conversions dans le sens degré->radian car une mesure en degrés ne précise pas de sens!

Mesure principale

Les nombres x, angle , angle , angle ,... sont les mesures d'un même angle orienté car sur notre dessin le point M se retrouve toujours au même endroit. Avec les deux extrémités d'un morceau de ficelle de longueur angle , on forme le même angle qu'avec un morceau de ficelle de longueur x.

Un angle orienté possède donc toujours une infinité de mesures.
La mesure principale d'un angle orienté est sa mesure x telle que .

On obtient la mesure principale d'un angle orienté en ajoutant ou en enlevant autant de fois que nécessaire.

Exemples

- La mesure principale de angle est angle (on enlève une fois angle soit une fois angle ).
- La mesure principale de angle est angle (pour la trouver on cherche à ajouter des multiples de angle soit de angle ).

Méthode

Pour trouver la mesure principale d'un angle donné, il y a la méthode "à l'arrache", en tâtonnant, c'est à dire en ajoutant ou ôtant des multiples de à l'angle donné jusqu'à obtenir une mesure comprise entre -pi et pi.
Ou sinon la méthode ci-dessous marche toujours. Exemple avec angle en radian .

angle

L'angle demandé est égal à calcul mesure principale soit .

Relations trigonométriques

Les propriétés ci-dessous sont parfois utiles dans les exercices.
Inutile de les apprendre si tu peux les retrouver avec un dessin.
Pour tout nombre x on a :

angle

angle

angle