Les vecteurs

Un vecteur est constitués de 2 points. Il a une direction, un sens, et une longueur, et se note : . Ce vecteur est orienté de A vers B.
Si on veut, on peut dire qu’un vecteur est un segment mais qu’il est orienté, car il a un sens.
Les coordonnées de ce vecteur sont :

La norme (c’est-à-dire la longueur) de ce vecteur se note  ou AB et est :

—
ATTENTION à ne pas confondre : soit tu mets AB sans vecteur et sans « barre » sur les côtés : AB, soit tu mets la flèche au-dessus de AB ET les barres sur les côtés :  , mais ne mélange pas les deux écritures !!
—

Nous allons te montrer avec un dessin d’où vient cette formule : le théorème de Pythagore !

D’après le théorème de Pythagore :

donc

Exemple : A(2 ; 5) et B (8 ; 7)
On a alors :

 

on peut alors calculer la norme du vecteur :

 

La relation de Chasles

Cette relation sert à regrouper 2 vecteurs en un seul, ou au contraire à décomposer un vecteur en 2 vecteurs.
On a :

En gros, quand on a 2 vecteurs et qu’il y a la même lettre au milieu, cette lettre « disparaît » et il ne reste plus qu’un seul vecteur avec les 2 lettres qui restent.
Evidemment cette relation est vraie pour n’importe quelle lettre, pas seulement A, B et C

—
ATTENTION !! Cette formule n’est valable que s’il y a « + » entre les 2 vecteurs, pas « – » !!
Du coup :

Par contre, si on a « – » , on peut utiliser le fait que :

En gros, si on enlève le moins devant un vecteur, on change l’ordre des lettres.
Ainsi, on pourrait avoir :

On transformerait alors d’abord le 2ème vecteur en enlevant le « – » mais en changeant l’ordre des lettres du coup :

Et maintenant on peut appliquer la relation de Chasles :

—

Evidemment on peut faire l’inverse, c’est-à-dire décomposer un vecteur en 2 autres vecteurs. Il suffit juste de choisir un point, on peut prendre celui qu’on veut !

ou

ou

etc…

Tout dépend du contexte de l’exercice pour savoir avec quelle lettre il faut décomposer le vecteur.

Equations de droite

Dans le plan il y a des vecteurs mais bien sûr il y a aussi des droites.
Elle sont caractérisées par leur VECTEUR DIRECTEUR .

 est un vecteur directeur de la droite (d)

—
Attention ! Il y a plusieurs vecteurs directeurs pour une droite, il y en a même une infinité ! Quand tu rédiges, écris donc que c’est UN vecteur directeur de la droite (d) plutôt que LE vecteur directeur de la droite.
—

Quand tu fais un exercice sur les fonctions, tu dis qu’une droite a pour équation
y = ax + b (fonction affine).

En géométrie, il est préférable de dire qu’une équation de la droite est de la forme ax + by + c = 0
Pourquoi ?
Et bien tout simplement parce qu’on sait que sous cette forme, le vecteur  = (a ; b) est perpendiculaire à la droite, tandis que le vecteur  = (b ; -a) est un vecteur directeur de la droite 
Exemple : 2x + 3y + 5 = 0 est l’équation d’une droite dans le plan.
Le vecteur  = (2 ; 3) est perpendiculaire à la droite, tandis que le vecteur
 = (3 ;-2) est un vecteur directeur de la droite.

Produit scalaire

Le produit scalaire est un NOMBRE que l’on peut calculer à partir de 2 vecteurs. Ce produit scalire se note 
La formule du produit scalaire est :

On va voir une méthode très simple de calculer le produit scalaire :

Par exemple :  = (1 ; 5) et  = (2 ; 3)
Alors

Comme tu le vois on multiplie les x entre eux et les y entre eux, et on additionne ! 

—
ATTENTION ! Il faut bien comprendre que le produit scalaire est un NOMBRE et non un vecteur !
—

Bon c’est bien joli ce produit scalire mais ça sert à quoi ?
Ca sert entre autres à montrer que 2 droites sont perpendiculaires ! En effet :

Ainsi, si  est le vecteur directeur d’une droite (D) et  le vecteur directeur d’une droite (D’), alors si  = 0, les vecteurs  et  sont orthogonaux donc les droites (D) et (D’) sont perpendiculaires.

Intersections

Quand il y a 2 droites dans le plan, soit elles se coupent, soit elles ne se coupent pas. Dans ce cas, elles sont parallèles !

2 droites sont soit parallèles, soit sécantes, soit confondues !!

—
ATTENTION ! Il y a un cas particulier : si les droites sont confondues ! A ce moment-là elles se coupent (mais elles sont aussi parallèles), et leur intersection est la droite elle-même.
L’intersection de 2 droites est donc soit un point (elles sont sécantes), soit l’ensemble vide (elles sont parallèles), soit une droite (elles sont confondues).
—

Quand on te demande si 2 droites se coupent, il suffit donc de savoir si elles sont parallèles ou pas
Pour cela, on utilise encore les vecteurs directeurs ! Tout simplement parce que si les vecteurs sont colinéaires, les droites seront parallèles.
2 méthodes pour montrer que 2 vecteurs sont colinéaires ou pas :
1ère méthode :
Si  = (x ; y) et  = (x’ ; y’), on calcule xy’ – x’y :

Si x*y' - x'y = 0, les vecteurs sont colinéaires

 

Bien sûr si xy’ – x’y ≠ 0, les vecteurs ne sont pas colinéaires 

Exemple :  = (2 ; 4),  = (7 ; 14)
xy’ – x’y = 2×14 – 4×7 = 28 – 28 = 0, donc les vecteurs  et  sont colinéaires !

2ème méthode :
Il faut savoir que :

Si  et  sont parallèles, il existe un réel k tel que:  = k*

 

On va donc chercher si il existe un tel k. S’il existe, les vecteurs seront colinéaires, sinon ils ne le seront pas.
On va donc supposer au début qu’il existe : supposons qu’il existe k tel que :

 = k*

Si on reprend l’exemple précédent :  = (2 ; 4),  = (7 ; 14), cela nous donne :

d’où le système :

Donc il existe bien k = 2/7 qui vérifie la relation, les vecteurs sont donc colinéaires.

Voyons maintenant 2 vecteurs non colinéaires :  = (2 ; 4),  = (7 ; 11), cela nous donne :

d’où le système :

Il n’y a pas de solution au système, puisque k ne peut être égal à 2/7 et 4/11 en même temps.
Il n’y a donc pas de k qui vérifie la relation : les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

Projection orthogonale et distance

Quand on a un point et une droite, on peut « projeter » ce point sur la droite : on trace la droite perpendiculaire à la droite passant par le point. L’intersection des 2 droites est le projeté orthogonal du point sur la droite :

H est le projeté orthogonal de A sur la droite (D)

La longueur AH est alors ce qu’on appelle la DISTANCE entre le point et la droite : c’est le plus court chemin entre le point et la droite.
Cette distance se note d(A, D).
Si la droite a pour équation ax + by + c = 0, et si le point A a pour coordonnées A(x_A ; y_A,), la distance est alors donnée par :

On voit ici encore l’utilité de mettre l’équation de la droite sous la forme ax + by + c = 0.

—
Attention à ne pas oublier la valeur absolue au numérateur !!
—

Voyons un petit exemple :
Soit (D) la droite d’équation 3x – 4y + 1 = 0, et A le point de coordonnées (1 ; 8).
La distance du point à la droite est :

 

 

 

Si on avait oublié la valeur absolue, on aurait eu une distance négative, ce qui ne veut pas dire grand chose…

Droites remarquables

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] et qui passe par le milieu de [AB].

La médiatrice est perpendiculaire et passe par le milieu du segment

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Dans un triangle, on a 2 autres droites remarquables :
la médiane d’un côté est la droite qui passe par le milieu de ce côté et le sommet opposé à ce côté :

La médiane passe par le milieu d’un côté et le sommet opposé

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La hauteur d’un côté est la droite qui est perpendicualire à ce côté et qui passe par le sommet opposé au côté :

La hauteur est perpendiculaire à un côté et passe par le sommet opposé

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Il y a également la bissectrice d’un angle : c’est la droite qui coupe l’angle en deux angles égaux :

Une bissectrice coupe un angle en 2 angles égaux

Points remarquables

Si dans un triangle on trace les droites précédentes, on obtient des points particuliers aux intersections que l’on va rappeler ici.

L’intersection des MEDIATRICES est le CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT, c’est-à-dire celui qui passe par les trois sommets du triangle :

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L’intersection des MEDIANES est le CENTRE DE GRAVITE, c’est le centre de masse du triangle, c’est-à-dire que c’est le point d’équilibre du triangle, souvent noté G :

A noter que c’est aussi l’isobarycentre des sommets du triangle (on verra juste après les barycentres  ).

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L’intersection des HAUTEURS est l’ORTHOCENTRE:

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L’intersection des BISSECTRICES est le CENTRE DU CERCLE INSCRIT, c’est-à-dire le cercle qui est tangent aux trois côtés du triangle :

Equation de cercle

De même qu’il y a des équations pour les droites, il y a des équations pour les cercles.
Supposons que l’on a un cercle de centre A et de rayon R. Si on prend un point M de coordonnées (x ; y) sur ce cercle, on a alors :

AM = R

et si on développe AM avec la formule vue tout au début, ça donne :

 

on met au carré :

(x_M - x_A)² + (y_M - y_A)² = R²

et comme x_M = x et y_M = y :

(x - x_A)² + (y - y_A)² = R²

 

Et voilà, on a l’équation d’un cercle de centre A de coordonnées (x_A ; y_A) et de rayon R !!

Exemple : on cherche l’équation du cercle de centre C (8 , -5) et de rayon 3
Il faut simplement remplacer dans l’équation, ce qui donne :

(x - 8)² + (y - (-5))²â€‹â€‹â€‹â€‹â€‹â€‹â€‹ = 3²

(x - 8)² + (y +5)²â€‹â€‹â€‹â€‹â€‹â€‹â€‹ = 9

 

Ici le centre n’est pas A mais C mais ça revient au même, et il faut faire attention au « – » du -5, et donc ne pas oublier la parenthèse
Comme tu le vois il n’y a aucune difficulté à partir du moment où tu connais la formule 

Barycentres

Un barycentre est un point défini à partir d’autres points qui sont affectés de coefficients. Si le point A a pour coefficient 2, on noetra (A ; 2). Le barycentre est très souvent noté G.
Si G est le barycentre du système {(A ; a) (B ; b) (C ; c)}, on a alors l’égalité :

—
ATTENTION ! C’est bien vecteur nul et pas 0 !! Comme on a des vecteurs à gauche, il faut un vecteur à droite !
—

—
ATTENTION aussi ! Le barycentre n’existe que si a+b+c ≠ 0, c’est-à-dire la somme des coefficients est non nulle. S’il y a plus de points il faut bien sûr additionner tous les coefficients
—

Bien sûr s’il n’y a que A et B on ne met pas C, et si il y avait en plus (D ; d) et (E ; e) par exemple, ce serait
,
et ainsi de suite s’il y avait d’autres points.

On a également une 2ème égalité : pour tout point M du plan :

Le point M peut être n’importe quel point, même A, B C ou G si l’on veut !! Tu remarqueras que si on remplaces M par G, on retrouve l’égalité du dessus 

Une petite remarque de vocabulaire : si G est le barycentre du système
{(A ; a) (B ; a) (C ; a)}, c’est-à-dire si tous les coefficients sont les mêmes, on dit que G est l’ISOBARYCENTRE des points A, B et C. Cela est bien sûr valable pour plusieurs points.
Comme on l’a dit tout àl’heure, le centre de gravité G d’un triangle est l’isobarycentre des trois sommets.

Par ailleurs, si G est le barycentre du système {(A ; a) (B ; b) (C ; c)}, on peut multiplier tous les coefficients par le même nombre. Ainsi, G est le barycentre du système {(A ; 3a) (B ; 3b) (C ; 3c)}
Cela peut être utile quand on a des fractions : si G est le barycentre du système {(A ; ½) (B ; ¼) (C ; 2/5)}, on peut multiplier par 20 : G est alors le barycentre du système {(A;20 × ½) (B;20 × ¼) (C;20 × 2/5)}, c’est-à-dire {(A;10) (B;5) (C;8)}, ce qui est quand même plus facile pour les calculs que les fractions 

Bon ok mais comment on utilise tout ça ?
La 2ème formule, on l’utilisera juste après dans les ensembles de points.
La première formule, on peut l’utiliser pour calculer les coordonnées d’un point.
Exemple : G est le barycentre de {(A ; 2) (B ; 5)}, et les coordonnées de
A sont (1 ; 4) et celles de B (3 ; 7). Cherchons les coordonnées de G.

 

et là on fait un système avec les x et les y :

on a plus qu’à résoudre le système pour trouver x_G et y_G !

 

 

Ensemble de points

Si on connaît le point A et un réel r, l’ensemble des points M tels que :

AM = r

est le cerclce de centre A et de rayon r

 

En effet, si AM = r, tous les points M sont équidistants de A, c’est donc un cercle.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

AM = BM

est la médiatrice du segment [AB]

 

En effet, si AM = BM, tous les points M sont équidistants de A et B, ils sont donc sur la médiatrice.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

est le cercle de diammètre [AB]

 

Si M est sur le cercle de diamètre [AB], le triangle MAB est rectangle en M, donc l’angle en M vaut π/2.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

Il faut poser SOI-MEME G = barycentre de {(A;4)(B;2)(C;-7)}.
Les coefficients sont bien sûr pris en fonction de ceux de l’exemple

Au passage on vérifie que G existe bien puisque 4 + 2 – 7 ≠ 0 
On sait alors d’après la 2ème formule que

C’est là tout l’intérêt des barycentres : ils permettent de réduire une somme de vecteurs en un seul vecteur !!
On remplace alors dans l’équation de départ :

GM = DM

 

Et ici on retrouve la médiatrice comme au-dessus 

—
Attention cependant !
A la fin on ne trouve pas toujours une médiatrice, on trouve parfois un cercle ou autre chose, cela dépend.
Cet exemple est surtout important pour la démarche au début, quand on pose G qui est barycentre des 3 points pour pouvoir simplifier les calculs. Dans cet exemple la conclusion n’est pas importante…
—

Intérêt de la géométrie dans le plan

La géométrie est une des grandes composantes des mathématiques, elle se retrouve donc dans de nombreux chapitres, notamment les complexes.

Ici nous n’avons fait que quelques rappels mais il y a d’autres éléments importants en géométrie comme l’aire ou le périmètre, qui ont des applications directes dans la vie de tous les jours, en architecture par exemple.
Les vecteurs, une des composantes de la géométrie dans l’espace, sont les bases des esapces vectoriels. Ces espaces vectoriels ont de nombreuses applications, notamment dans le domaine de la cryptographie.

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2016-11-04 09:09:08 / mazoughou@magoe.gn