I. Divisibilité :

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.

On dit que b divise a ou que a est divisible par b ou bien encore que a est un multiple de b <===> á´²kϵZ, a = k*b, on note alors b/a .

Exemple :

15 = 3*5

donc 5 divise 15, 3 divise 15, 15 est un multiple de 5 et de 3.

II. Propriétés :

Propriétés :

Soient (a; b) Ïµ Z²  .

III. Définition :

Définition :

Un entier n ≥ 2 est dit premier s’il n’admet dans N aucun autre diviseur que lui-même et 1 .

Ensemble des nombres premiers

L’ensemble des nombres premiers, noté P est un ensemble infini.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... }.

IV. Théorème fondamental de l’arithmétique :

1. Décomposition en facteurs premiers :

Théorème:

Soit n Ïµ N.

L’entier n se décompose de manière unique, à l’ordre près, sous forme de produit de nombres premiers.

 .

 

2. Division euclidienne :

Theoreme:

Soient a et b deux entiers relatifs tels que b ≠ 0

alors Il existe un unique couple d’entiers (q, r) tel que :

a = b*q + r, 0 ≤ r ≤ |b|

 

Remarque :

Que l’on soit dans N ou Z, le reste r est toujours positif ou nul.

3. Congruences :

Definition :

On dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo n s’ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Si c’est le cas, on note a ≡ b[n].

Exemple :

18=5×3+3 et 27=8×3+3.

18 et 27 ont le même reste (r=3) lors de la division euclidienne par 3

donc 27 ≡ 18[3]

 

Proprietes :

4. Plus commun diviseur (pgcd) et plus petit commun multiple (ppcm) :

a. Definition du pgcd(a,b)

Definition :

Soient a et b deux entiers relatifs.

L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément nommé le pgcd(a,b).

On note aussi a^b.

b. Proprietes du pgcd(a,b)

Proprietes :

Soit k un entier non nul.

Si k divise a et b alors :

Remarque :

On peut déterminer le pgcd(a,b) de trois manières :

• par décomposition des deux nombres ;

• par une succession de divisions euclidiennes, le dernier reste non nul etant le pgcd(a,b) (theoreme d’Euclide);

• par le théorème de Bezout (voir plus loin….)

c. Définition du ppcm(a,b)

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs.

L’ensemble des multiples communs à a et b admet un plus petit élément nommé leppcm(a,b).

On note aussi : a v b .

Propriete :

Soient (a,b) Ïµ ZxZ.

pgcd(a,b)*ppcm(a,b) = |a*b|

 

V. Théorème de Bezout :

Proposition :

Soit d= pgcd(a,b) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

a*u + b*v = d

 

Propriété :

Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a,b)=1 .

Corollaire 1 :

Corollaire 2 :

VI. Théorème de Gauss:

Théorème :

Si a divise bc et a premier avec b alors a divise c

Exemple :

5 divise 70=7×10

or 5 est premier avec 7

donc d’après le theoreme de Gauss 5 divise 10.

 

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2020-06-04 16:51:31 / mazoughou@magoe.gn