Méthode et outils de calcul de la parité d'une fonction

1. La méthode en résumé

Figure 1 – Les étapes pour étudier la parité d'une fonction

2. Calculer avec −x

PROPRIÉTÉ · Puissances de −x

Pour tout entier naturel n :

si n est pair : (-x)ⁿ = xⁿ, par exemple (-x)² = x² et (-x)⁴ = x⁴ ;
si n est impair : (-x)ⁿ = -xⁿ, par exemple (-x)³ = -x³ et (-x)⁵ = -x⁵.

C'est l'origine des mots « paire » et « impaire » : les fonctions x², x⁴, x⁶… sont paires, et les fonctions x, x³, x⁵… sont impaires.

3. Fonctions de référence

Fonction	Ensemble de définition	Calcul de f(−x)	Parité
x²	ℝ	(-x)² = x²	Paire
x³	ℝ	(-x)³ = -x³	Impaire
	ℝ privé de 0		Impaire
∣x∣	ℝ	∣-x∣ = ∣x∣	Paire
x	[0 ; +∞[	Ensemble non symétrique	Ni l'une ni l'autre
ax+b, avec b≠0	ℝ	-ax+b	Ni l'une ni l'autre
Fonction constante k	ℝ	k	Paire

4. Opérations sur les fonctions

Soient f et g deux fonctions définies sur le même ensemble symétrique.

f	g	f + g	f × g
Paire	Paire	Paire	Paire
Impaire	Impaire	Impaire	Paire
Paire	Impaire	En général ni l'une ni l'autre	Impaire

EXEMPLE

Le produit de x² (paire) par x (impaire) est x²*x = x³ : c'est une fonction impaire. En revanche, x² + x n'est ni paire ni impaire, comme on l'a vu au point 2.

2026-11-07 19:51:38 / mazoughou@magoe.gn