EXEMPLE

 est définie sur ℝ privé de 3. Cet ensemble contient -3 mais pas 3 : il n'est pas symétrique. Donc f n'est ni paire ni impaire.

 est définie sur [0 ; +∞[, qui n'est pas symétrique. Donc g n'est ni paire ni impaire.

MÉTHODE  ·  Le contre-exemple

Si Df est symétrique, il suffit de trouver une valeur a telle que :

• f(-a)≠f(a) : la fonction n'est pas paire ;
• f(-a)≠-f(a) : la fonction n'est pas impaire.

EXEMPLE  ·  h(x) = x² + 3x

Dh=R. On calcule h(1)=1+3=4 et h(-1)=1-3=-2.

• h(-1)≠h(1), donc h n'est pas paire ;
• h(-1)≠-h(1), car -2≠-4, donc h n'est pas impaire.

Conclusion : h n'est ni paire ni impaire.

ATTENTION  ·  Un exemple ne prouve jamais une propriété générale

Vérifier que f(-2)=f(2) ne prouve pas que f est paire : il faut le démontrer pour tout x, avec un calcul littéral. En revanche, un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une fonction n'est pas paire.