DÉFINITION  ·  Fonction impaire

Une fonction f, d'ensemble de définition Df, est impaire si :

1. Df est symétrique par rapport à 0 ;
2. pour tout x de Df :

f(-x)=-f(x)

Autrement dit, deux nombres opposés ont des images opposées.

PROPRIÉTÉ  ·  Symétrie par rapport à l'origine

Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine O du repère.

Les points M(x ; f(x)) et M'(-x ; -f(x)) sont symétriques par rapport à O.

PROPRIÉTÉ  ·  Conséquence

Si f est impaire et définie en 0, alors f(0)=0 : sa courbe passe par l'origine.

En effet : f(-0)=-f(0) donne f(0)=-f(0), donc 2f(0)=0.

EXEMPLE  ·  Exemple 1 : f(x) = x³ − 2x

Df=R est symétrique. Pour tout réel x :

f(-x) = (-x)³ - 2(-x) = -x³ + 2x = -(x³ - 2x) = -f(x)

Donc f est impaire.

EXEMPLE  ·  Exemple 2 : g(x) = (x² − 1)/x

Dg est ℝ privé de 0, symétrique par rapport à 0. Pour tout x non nul :

Donc g est impaire.