DÉFINITION  ·  Fonction paire

Une fonction f, d'ensemble de définition Df, est paire si :

1. Df est symétrique par rapport à 0 ;
2. pour tout x de Df :

f(-x)=f(x)

Autrement dit, deux nombres opposés ont la même image.

PROPRIÉTÉ  ·  Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy).

Les points M(x ; f(x)) et M'(-x ; f(x)) ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à (Oy).

EXEMPLE  ·  Exemple 1 : f(x) = x⁴ − 3x² + 1

Df=R est symétrique par rapport à 0. Pour tout réel x :

f(-x) = (-x)⁴ - 3(-x)² + 1 = x⁴ - 3x² + 1 = f(x)

Donc f est paire.

EXEMPLE  ·  Exemple 2 : g(x) = 1/(x² + 1)

Le dénominateur x² + 1 ne s'annule jamais, donc Dg=R, symétrique par rapport à 0. Pour tout réel x :

Donc g est paire.

EXEMPLE  ·  Exemple 3 : la valeur absolue

La fonction f(x)=∣x∣ est définie sur ℝ, et ∣-x∣=∣x∣ pour tout réel x. Elle est donc paire : sa courbe, en forme de « V », est symétrique par rapport à (Oy).