À RETENIR  ·  Objectifs du chapitre

• Reconnaître un ensemble de définition symétrique par rapport à 0.
• Calculer f(-x) et le comparer à f(x).
• Démontrer qu'une fonction est paire, impaire, ou ni paire ni impaire.
• Interpréter la parité graphiquement et reconnaître la parité sur une courbe.
• Exploiter la parité pour calculer des valeurs et compléter une courbe.

DÉFINITION  ·  Ensemble symétrique par rapport à 0

Un ensemble D est symétrique par rapport à 0 si, pour tout réel x :

x ∈ D ⟹ -x ∈ D

Sur une droite graduée, cet ensemble est « en miroir » de part et d'autre de 0.

Ensemble

Symétrique ?

Justification

ℝ

Oui

Tout réel a son opposé dans ℝ

[−3 ; 3]

Oui

Si -3 ≤ x ≤ 3, alors -3 ≤ -x ≤ 3

ℝ privé de 0

Oui

0 est retiré, et 0 est son propre opposé

ℝ privé de −1 et 1

Oui

On retire deux valeurs opposées

[−2 ; 5]

Non

4 appartient à l'ensemble, mais pas −4

ℝ privé de 3

Non

−3 appartient à l'ensemble, mais pas son opposé 3

[0 ; +∞[

Non

2 appartient à l'ensemble, mais pas −2

MÉTHODE  ·  Déterminer l'ensemble de définition

• Un dénominateur ne doit pas s'annuler :  est défini sur ℝ privé de 3.
• Sous une racine carrée, l'expression doit être positive ou nulle :  est défini sur [0 ; +∞[.
• Un polynôme comme x⁴ - 3x² + 1 est défini sur ℝ.

Fonction paire

Fonction impaire

Condition sur Df

Symétrique par rapport à 0

Symétrique par rapport à 0

Définition

f(-x) = f(x)

f(-x) = -f(x)

Courbe

Symétrique par rapport à (Oy)

Symétrique par rapport à O

Exemples

x², x⁴, ∣x∣,

x, x³,  , x³ - 2x

Valeur en 0

Quelconque

f(0)=0 (si définie)

ATTENTION  ·  Les erreurs à éviter

• Oublier de vérifier que l'ensemble de définition est symétrique.
• Mal calculer (-x)² : c'est x², et non -x². Mettez toujours -x entre parenthèses.
• Conclure qu'une fonction est paire à partir d'un seul exemple numérique.
• Croire qu'une fonction qui n'est pas paire est forcément impaire.