À RETENIR  ·  Objectifs du chapitre

• Déterminer le signe d'un trinôme du second degré selon le signe de a et de Δ.
• Résoudre une inéquation du second degré avec un tableau de signes.
• Résoudre des inéquations qui se ramènent au second degré : produit, quotient, système.
• Lire le signe d'un trinôme sur sa courbe.
• Résoudre des problèmes concrets : prix de vente, bénéfice, aire d'un terrain.

DÉFINITION  ·  Trinôme et inéquation du second degré

Un trinôme du second degré est une expression ax² + bx + c, avec a≠0.

Une inéquation du second degré peut s'écrire sous l'une des formes ax² +bx + c > 0, ax² + bx + c ≥0, ax² + bx + c < 0 ou ax² + bx + c ≤ 0.

PROPRIÉTÉ  ·  Discriminant et racines

Le discriminant est Δ = b² - 4ac.

• Si Δ > 0 : deux racines  et .
• Si Δ = 0 : une racine double .
• Si Δ < 0 : aucune racine.

THÉORÈME  ·  La règle à retenir

Le trinôme ax² + bx + c est du signe de a, sauf entre ses racines (quand elles existent), où il est du signe contraire de a.

En résumé : « signe de a à l'extérieur des racines ».

x

−∞

x₁

x₂

+∞

Signe de ax² + bx + c

signe de a

0

signe contraire de a

0

signe de a

x

−∞

x₀

+∞

Signe de ax² + bx +c

signe de a

0

signe de a

x

−∞

+∞

Signe de ax² + bx + c

signe de a

PROPRIÉTÉ  ·  Lecture graphique

Le trinôme est positif là où sa parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, et négatif là où elle est au-dessous. Les racines sont les points d'intersection avec l'axe.

EXEMPLE  ·  Exemple 1 : x² − x − 6 ≤ 0

a = 1, b = -1, c = -6. Δ = 1 + 24 = 25, donc x₁ = (1 - 5)/2 = -2 et x₂ = (1 + 5)/2 = 3.

On cherche où le trinôme est négatif ou nul : entre les racines, bornes incluses. S = [−2 ; 3].

EXEMPLE  ·  Exemple 2 : −2x² + 3x + 2 > 0

Δ = 9 + 16 = 25, donc x₁ = (-3 + 5)/(-4) = -1/2 et x₂ = (-3 - 5)/(-4) = 2. Ici a = -2 < 0.

Le trinôme est strictement positif entre les racines, bornes exclues. S = ]−1/2 ; 2[.

EXEMPLE  ·  Exemple 3 : avec une racine double

x² - 6x + 9 = (x - 3)² : Δ = 0 et la racine double est 3. Ce trinôme est positif partout et ne s'annule qu'en 3.

• x² - 6x + 9 > 0 : S = ℝ privé de 3, c'est-à-dire ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.
• x² - 6x + 9 ≥ 0 : S = R.
• x² - 6x + 9 ≤ 0 : S = {3}.
• x² - 6x + 9 < 0  : S = ∅.

EXEMPLE  ·  Exemple 4 : sans racine

x² + x + 1 : Δ = 1 - 4 = -3 < 0 et a = 1 > 0. Le trinôme est toujours strictement positif.

• x² + x + 1 > 0 : S = R.
• x² + x + 1 < 0 : S = ∅.

Inéquation

Méthode

Solutions

x² - 9 < 0

(x - 3)(x + 3) < 0 : racines -3 et 3, a>0

]−3 ; 3[

x² - 4x ≥ 0

x(x - 4) ≥ 0 : racines 0 et 4, a > 0

]−∞ ; 0] ∪ [4 ; +∞[

x² + 5 > 0

Un carré plus 5 est toujours positif

ℝ

ATTENTION  ·  Toujours comparer à zéro

Pour résoudre 2x² ≥ 3x + 2, on commence par tout passer dans le premier membre : 2x² - 3x - 2 ≥ 0. Ensuite seulement, on calcule Δ=9+16=25 et les racines -1/2 et 2. Comme a>0 : S = ]−∞ ; −1/2] ∪ [2 ; +∞[.

EXEMPLE  ·  Résoudre (x² − 4)/(x − 1) ≥ 0

Le numérateur s'annule pour x=-2 et x=2. La valeur x=1 est interdite (‖).

Le quotient est positif ou nul sur [−2 ; 1[ et sur [2 ; +∞[. La valeur 1 est exclue. Donc S = [−2 ; 1[ ∪ [2 ; +∞[.

EXEMPLE  ·  Résoudre le système : x² − 4x + 3 ≤ 0 et x ≥ 2

x² - 4x + 3 a pour racines 1 et 3 (Δ=4), et a>0 : il est négatif ou nul sur [1 ; 3].

On garde les valeurs qui vérifient aussi x ≥ 2 : S = [2 ; 3].

EXEMPLE  ·  Problème 1 : choisir un prix de vente

Une entreprise vend un produit au prix p. Elle en vend 100-p unités, donc sa recette est R(p)=p(100-p). À quel prix doit-elle vendre pour obtenir une recette d'au moins 2 100 ?

p(100-p)≥2 100 ⟺ -p² + 100p - 2 100 ≥ 0 ⟺ p² - 100p + 2 100 ≤ 0 (on multiplie par -1 : le sens change).

Δ=10 000 - 8 400 = 1 600 = 40², donc les racines sont (100 - 40)/2 = 30 et (100 + 40)/2 = 70. Le trinôme est négatif entre les racines.

L'entreprise doit vendre entre 30 et 70 (bornes comprises). Voir le graphique de la page de garde.

EXEMPLE  ·  Problème 2 : l'enclos

Un éleveur dispose de 40 m de clôture pour faire un enclos rectangulaire. Il veut une aire d'au moins 75 m². Quelles largeurs peut-il choisir ?

Si x est un côté, l'autre mesure 20 - x, car le demi-périmètre vaut 20 m. On résout x(20 - x) ≥ 75 ⟺ x² - 20x + 75 ≤ 0.

Δ=400-300=100, donc les racines sont 5 et 15. Le côté x doit être compris entre 5 m et 15 m.

Signe de Δ

ax² + bx + c > 0 (avec a > 0)

ax² + bx + c < 0 (avec a > 0)

Δ>0 (racines x₁ < x₂)

À l'extérieur des racines

Entre les racines

Δ=0 (racine x₀)

Tous les réels sauf x₀

Aucune solution

Δ<0

Tous les réels

Aucune solution

ATTENTION  ·  Les erreurs à éviter

• Calculer Δ avant d'avoir tout passé dans un seul membre.
• Oublier que le signe de a change tout : vérifiez toujours si a est positif ou négatif.
• Se tromper de crochets : bornes incluses pour ≤ et ≥, exclues pour < et >.
• Inclure une valeur interdite dans les solutions d'un quotient.