I. Définition

Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre non nul appelé raison, noté q.

La relation de récurrence est :

u_n+1=q u_n

où :

• u_n est le terme de rang n;
• q est la raison de la suite.

II. Reconnaître une suite géométrique

Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant.

Exemple

Considérons la suite :

2;  6;  18;  54;…

Calculons les quotients :

Le quotient étant toujours égal à 3, cette suite est géométrique de raison : q=3

III. Calcul d'un terme par récurrence

Si l'on connaît le premier terme et la raison, on peut calculer les termes suivants.

Exemple

On donne :

u0=5,  q=2.

Calculons les cinq premiers termes.

Rang n	0	1	2	3	4
un	5	10	20	40	80

Calculs :

u1=2×5=10
u2=2×10=20
u3=2×20=40
u4=2×40=80

IV. Formule explicite

Au lieu de calculer les termes un à un, on peut utiliser une formule.

Si le premier terme est u0, alors :

u_n =u₀qⁿ

Si la suite commence par u1, alors :

u_n = u₁q ^n-1

Exemple

Soit :

u0=4,  q=3.

Calculons u5.

u5=4×3^₅
u5=4×243
u5=972

V. Sens de variation

Le sens de variation dépend de la valeur de la raison q (lorsque les termes sont positifs).

• Si q>1, la suite est croissante.
• Si 0, la suite est décroissante.
• Si q=1, la suite est constante.

Exemples

• 2;  4;  8;  16;…: suite croissante (q=2).
• 64;  32;  16;  8;…: suite décroissante (q=12).
• 5;  5;  5;  5;…: suite constante (q=1).

VI. Comparaison entre une suite arithmétique et une suite géométrique

 

Suite arithmétique	Suite géométrique
On ajoute toujours le même nombre.	On multiplie toujours par le même nombre.
un+1 = un + r	un+1 = q un
un = u0 + nr	un = u0qn
Différence constante	Quotient constant

 

VII. Applications

Exemple 1 : Placement bancaire

Une personne place 1 000 000 GNF sur un compte rapportant 10 % d'intérêt par an.

Le capital est multiplié chaque année par :

1+0,10=1,10.

La suite des capitaux est donc géométrique de raison :

q=1,10.

Le capital après n années est :

u_n =1 000 000×1,10ⁿ.

Exemple 2 : Diminution d'une population

Une population de 8 000 habitants diminue de 5 % chaque année.

Chaque année, il reste :

100%-5%=95%=0,95.

La suite est géométrique de raison :

q=0,95.

 

---

2026-07-30 13:31:23 / mazoughou@magoe.gn