1. Introduction

Dans l’étude d’une fonction, on cherche souvent à connaître ses valeurs les plus grandes ou les plus petites sur un intervalle donné. Ces valeurs particulières sont appelées extrémums.

Les extrémums permettent de répondre à des questions comme :

• Quelle est la hauteur maximale atteinte par un objet ?
• À quel moment une production est-elle maximale ?
• Quelle est la valeur minimale d’un coût ?

2. Vocabulaire et définitions

2.1. Maximum d’une fonction

Soit une fonction f définie sur un intervalle I.

On dit que f admet un maximum en a sur I si :

Cela signifie que la valeur f(a)  est la plus grande valeur prise par la fonction sur l’intervalle I.

• a est appelé abscisse du maximum.
• f(a)  est appelé maximum de la fonction.

Exemple :

Soit :

f(x) = -(x - 2)²+5

On remarque que :

(x - 2)²≥0

Donc :

-(x - 2)² ≤ 0

Ainsi :

f(x) ≤ 5

L’égalité est obtenue lorsque :

Donc :

• le maximum est 5 ;
• il est atteint pour x=2.

On écrit :

f(2) = 5

2.2. Minimum d’une fonction

Soit une fonction f définie sur un intervalle I.

On dit que f admet un minimum en a sur I si :

Cela signifie que f(a) est la plus petite valeur prise par la fonction sur I.

• a est l’abscisse du minimum.
• f(a)  est le minimum.

Exemple :

Soit :

g(x) = (x + 3)² - 4

Comme :

(x + 3)² ≥ 0

Alors :

g(x) ≥ -4

L’égalité est obtenue pour :

x+3=0

Donc :

x=-3

Ainsi :

• Le minimum est -4 ;
• Il est atteint pour x=-3.

3. Extremum d’une fonction

Un extrémum est un maximum ou un minimum.

On distingue :

• Un maximum local : une valeur plus grande que les valeurs voisines ;
• Un minimum local : une valeur plus petite que les valeurs voisines ;
• Un maximum global : la plus grande valeur sur tout l’ensemble étudié ;
• Un minimum global : la plus petite valeur sur tout l’ensemble étudié.

4. Lecture graphique des extrémums

Sur une courbe représentative :

• Un maximum correspond au point le plus haut de la courbe ;
• Un minimum correspond au point le plus bas de la courbe.

 

Exemple :

Si une courbe atteint son point le plus haut en :

A(3; 7)

Alors :

• L’abscisse du maximum est 3 ;
• Le maximum est 7.

On écrit :

f(3) = 7

5. Détermination des extrémums d’une fonction

5.1. Méthode 1 : À partir de la forme canonique

Pour une fonction du second degré :

f(x) = a(x - α)² + β

• Si a>0, la parabole est tournée vers le haut, elle possède un minimum égal à β, atteint en x=α.
• Si a<0, la parabole est tournée vers le bas ; elle possède un maximum égal à β, atteint en x=α.

Exemple :

fx=-2(x-4)² + 6

Comme :

a = -2 <0

La fonction possède un maximum.

Donc :

• Abscisse du maximum : 4
• Maximum : 6

5.1. Tableau de variation et extrémums

Le tableau de variation permet de visualiser les changements de comportement d’une fonction.

Exemple :

Cela signifie que :

• La fonction augmente jusqu’à x=2;
• Elle atteint un maximum en 2;
• Puis elle diminue.

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2026-07-29 11:29:57 / mazoughou@magoe.gn