Les Inéquations

1. Définition et Rappels

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

C'est une inégalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent notées x).

Exemples :

2x + 3 > 7 ;
5x – 4 ≤ 6 ;
3x + 1 ≥ 2x – 5.

Les 4 symboles de comparaison :

> : strictement supérieur à
≥ : supérieur ou égal à
< : strictement inférieur à
≤ : inférieur ou égal à

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie. L'ensemble des solutions s'écrit sous forme d'intervalle.

Règles de base (Attention !) :

On peut transformer une inéquation sans changer ses solutions en :

Additionnant ou soustrayant le même nombre aux deux membres (le sens de l'inégalité ne change pas).
Multipliant ou divisant par un même nombre positif (le sens ne change pas).
Multipliant ou divisant par un même nombre négatif (le sens de l'inégalité change !).

Exemple : Si -2x < 6, alors x > -3 (on a divisé par - 2, donc on a inversé le < en >).

2. Résolution d’une inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré est une inéquation où l’inconnue apparaît avec la puissance 1.

Elle a généralement la forme :

ax + b < c

ax + b ≥ c

avec a≠0.

Méthode de résolution

Étape 1 : Regrouper les termes contenant x d’un côté
Étape 2 : Regrouper les nombres de l’autre côté
Étape 3 : Diviser par le coefficient de x

⚠️ Attention :

Lorsque l’on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.

Exemple :

-2x + 5 > 1

On enlève 5 :

-2x > 1 – 5

-2x > -4

On divise par -2 (changement de sens) :

x < 2

Solution :

S = ]-∞ ; 2[

3. Résolution de problèmes conduisant à une inéquation

Dans la vie courante, certaines situations ne demandent pas une valeur exacte mais un ensemble de possibilités.

La méthode est quasi identique à celle des équations, mais la conclusion sera un intervalle de valeurs.

3.1. Choisir l’inconnue

Lire l'énoncé 2 fois. Désigner par x la quantité variable recherchée.

Exemple :

Un élève dispose de 50 000 GNF.

Un cahier coûte 2 500 GNF.

Combien peut-il acheter au maximum ?

On va désigner par x le nombre de cahiers achetés.

3.2. Traduire la situation par une inéquation

Traduire les phrases en une inégalité. Repérer les mots-clés : "au moins" ≥, "au plus" ≤, "strictement inférieur" <, "strictement supérieur" >.

On pose :

2500x ≤ 50000

3.3. Résoudre

Isoler x en appliquant les règles (attention au changement de sens !).

x ≤ 20

3.4. Interpréter le résultat

Donner la solution sous forme d'intervalle et rédiger une phrase réponse adaptée au contexte.

L’élève peut acheter au maximum 20 cahiers.

4. Représentation graphique d’une inéquation

La solution d’une inéquation peut être représentée sur une droite graduée.

Exemple 1 :

Exemple 2 :

5. L'Appui Graphique (Visualiser les solutions)

Le graphique est un outil puissant pour résoudre ou vérifier une inéquation. Il permet de voir immédiatement "quand la courbe est au-dessus ou en dessous" d'une autre.

**5.1. Inéquations de la forme ax + > 0 (ou ≥, >,** ≤)

On considère la fonction affine f(x) = ax + b. Sa représentation est une droite.
Résoudre ax + b > 0 revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles la droite est au-dessus de l'axe des abscisses (là où f(x) est positive).

Exemple :

Résoudre 2x – 4 ≥ 0.

Graphiquement : On trace la droite y = 2x - 4.

Elle coupe l'axe des x en x = 2.
Pour x ≥ 2, la droite est sur ou au-dessus de l'axe horizontal.
Solution : x ϵ [2 ; +∞[.

5.2. Inéquations de la forme f(x) ≤ g(x) (Comparaison de deux fonctions)

On trace la courbe de f et celle de g dans le même repère.
Résoudre f(x) ≤ g(x) revient à trouver les intervalles de x où la courbe de f est en dessous de la courbe de g (ou sur la même hauteur).

6. Tableau de signes (méthode graphique)

6.1. Signe d'une fonction affine

Pour une fonction affine f(x) = ax + b (avec a ≠ 0) :

x	-∞		+∞
Signe de f(x)	Signe opposé de a	0	Signe de a

Exemple : f(x)=2x-4 (donc a=2>0, racine x=2).

Pour x<2, f(x)<0 (négatif).
Pour x>2, f(x)>0 (positif).

6.2. Signe du produit d'une fonction affine par une fonction affine

Pour une expression comme :

(x – 2)(x + 3) > 0

On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur :

x – 2 = 0 → x = 2

x + 3 = 0 → x = -3

On place ces valeurs sur une droite :

Puis on étudie le signe dans chaque intervalle.

Résultat :

S = ]-∞ ; -3[U]2 ; +∞[

7. Fiche Mémo des Erreurs à Éviter

❌Oublier d'inverser le signe en multipliant ou divisant par un nombre négatif.
- Faux : -3x ≤ 9 → x ≤ - 3
- Vrai : : -3x ≤ 9 → x ≥ - 3 (On DIVISE par - 3, on INVERSE).
❌Confondre les intervalles ouverts et fermés.
- Si l'inégalité est stricte (> ou <), le crochet est ouvert (exclu) : ]… ; …[
- Si l'inégalité est large (≥ ou ≤), le crochet est fermé (inclus) : […. ; ….].
❌Donner une solution sous forme de nombre unique.
- Une inéquation donne généralement une infinité de solutions (un intervalle). Si vous trouvez x = 5 pour une inéquation, c'est probablement faux (c'est une équation ça !).
❌Oublier le contexte (nombres entiers).
- Dans la vie réelle, on ne vend pas des demis places ou des demis voitures. Pensez à arrondir à l'entier supérieur ou inférieur.

2026-07-27 20:13:03 / mazoughou@magoe.gn