I. Introduction historique des nombres

Les nombres ne sont pas apparus tous en même temps : chaque ensemble de nombres a été introduit pour répondre à un besoin que les nombres déjà connus ne permettaient pas de satisfaire.

1.1. Les entiers naturels (N)

Dès l'Antiquité, les civilisations ont eu besoin de compter des objets, des animaux ou des jours : 0, 1, 2, 3, … Ce sont les entiers naturels.

1.2. Les entiers relatifs (Z)

Les nombres négatifs apparaissent pour représenter des dettes, des températures ou des positions. Les mathématiciens indiens, dès le VIIe siècle, sont parmi les premiers à les manipuler avec des règles précises.

1.3. Les rationnels (Q)

Pour mesurer des longueurs ou partager des quantités qui ne tombent pas juste, l'Égypte et la Mésopotamie antiques utilisaient déjà des fractions, c'est-à-dire des quotients de deux entiers.

1.4. Les irrationnels et la naissance de R

Une découverte a bouleversé les mathématiciens grecs : certaines longueurs ne peuvent s'écrire comme un quotient de deux entiers. C'est le cas de la diagonale d'un carré de côté 1, qui vaut √2. Cette découverte, attribuée à l'école de Pythagore, aurait provoqué une véritable crise, car elle contredisait l'idée que « tout est nombre (rationnel) ».

Il faudra attendre le XIXᵉ siècle pour que les mathématiciens (notamment Dedekind et Cantor) donnent une construction rigoureuse de l'ensemble R, réunissant rationnels et irrationnels en un seul ensemble continu.

II. Les ensembles de nombres

 

 

Ensemble	Nom	Exemples
N	Entiers naturels	0, 1, 2, 3, 4, …
Z	Entiers relatifs	…, −2, −1, 0, 1, 2, …
D	Décimaux	nombres à écriture décimale finie : 0,75 ; −3,2
Q	Rationnels	quotients a/b avec a ∈ Z, b ∈ Z*  :  2/3 ; −5/4
R	Réels	rationnels et irrationnels : √2, π, e

 

À retenir — Un nombre irrationnel (comme √2 ou π) appartient à ℝ mais pas à Q : son écriture décimale est infinie et non périodique.

III. Calculs dans R

1. Les quatre opérations

Dans R, l'addition et la multiplication sont commutatives et associatives, et la multiplication est distributive par rapport à l'addition :

• Commutativité : a + b = b + a  et  a × b = b × a
• Associativité : (a + b) + c = a + (b + c)
• Distributivité : a × (b + c) = a × b + a × c

La division par 0 n'est jamais définie.

2. Puissances et racines carrées

 

 

3. Ordre dans R

Comparer deux réels, c'est déterminer lequel est le plus grand. Quelques règles essentielles à ne jamais oublier :

On peut ajouter ou soustraire un même nombre de chaque côté d'une inégalité sans en changer le sens.

Si l'on multiplie (ou divise) par un nombre strictement négatif, l'inégalité change de sens.

Exemple — −3x < 6  ⟹  en divisant par −3 (négatif), on obtient  x > −2

4. Valeur absolue

La valeur absolue de x, notée |x|, représente la distance entre x et 0 sur la droite des réels

 

 

5. Intervalles de R

Un intervalle est une portion de la droite des réels. On distingue les bornes incluses (crochets fermés) des bornes exclues (crochets ouverts)

 

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2026-07-24 05:40:11 / mazoughou@magoe.gn