La notion de limite de fonction a été inventée pour décrire le comportement d'une fonction aux extrémités de son ensemble de définition, au voisinage de points pour lequels on ne peut pas calculer d'image, par exemple au voisinage de +∞ pour f(x)=x² ou au voisinage 0 pour f(x)=1/x.

La limite d’une fonction, c’est en gros « vers quoi tend » la fonction.   
Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse :

On voit bien que quand x tend vers +∞, la fonction « tend » vers 0, c’est-à-dire qu’elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.
Et bien on appelle cela une limite, puisque la fonction « tend vers » quelque chose.
On note cette limite de la façon suivante :

Et on prononce cela « limite quand x tend vers plus l’infini de 1 sur x égal 0 ».

Pour l’instant retiens juste la notation et cette notion de « tendre vers », de toute façon au fur et à mesure de la leçon tu assimileras de mieux en mieux le concept de limite avec les exemples.

Calcul de limites

Nous allons maintenant voir comment calculer des limites.
Déjà une limite peut se calculer pour tous les x, c’est-à-dire que le x peut tendre vers -∞, -9, 4, ½, π, 0, +∞, etc…

En gros, pour calculer une limite, on remplace le x dans la fonction par vers quoi il tend.
Exemple :
Si on veut calculer :

Et bien on remplace tout simplement le x par 4 :

Un autre exemple :

Comme tu le vois il n’y a aucune difficulté, on remplace le x et on calcule !

Bon ça ce sont des cas simples, mais ce n’est pas tout le temps comme ça.
Reprenons notre exemple de tout à l’heure :

On devrait écrire :

Oui mais

CE N’EST ABSOLUMENT PAS MATHEMATIQUE !!!

Il ne faut JAMAIS écrire 1/∞ dans une copie, ce sera immédiatement rayé par le correcteur !!

En revanche sur un brouillon tu peux tout à fait l’écrire.
De même, si on cherche la limite en 0, on devrait écrire :

Or tu sais très bien qu’ON NE DIVISE JAMAIS PAR 0 !!!
Il est également absolument faux d’écrire 1/0, n’écris jamais ça dans ta copie !!

Alors comment faire ?
Et bien c’est simple, il y a 2 formules à retenir, mais au brouillon, IL NE FAUT SURTOUT PAS LES ECRIRE SUR UNE COPIE :

Ces formules sont très simples à retenir :
Pour la 1ère, c’est comme si tu avais un gâteau que tu divisais en une infinité de part. Tu peux donc imaginer que les parts seront microscopiques, ce qui donne 0.
Pour la 2ème, c’est comme si tu avais un gâteau que tu divisais en faisant des parts minuscules, tu auras donc une infinité de part, d’où l’infini.

Tu as remarqué que nous n’avons pas précisé +∞ ou -∞, nous avons juste mis ∞. Nous reviendrons plus tard sur ce détail de signe, tu verras que c’est très simple.

Ainsi, on écrit directement :

car on sait que 1/∞ = 0, mais ça c’est dans ta tête ou sur le brouillon que tu l’écris, pas sur ta feuille…

Evidemment tu auras des fonctions plus compliquées que 1/x, nous allons maintenant voir comment s’en sortir.

Limite de somme, produit et quotient

Quand on a une somme de 2 fonctions c’est très simple : on additionne les limites !
Généralement il n’y a pas de souci, et souvent les limites se « simplifient ».
En effet, si f tend vers +∞ et g vers 4 par exemple, f + g tendra vers +∞, le 4 étant négligeable.

Pour les produits et les quotients c’est pareil, on multiplie les limites des 2 fonctions et on les divise les limites des 2 fonctions !

Il y a cependant quelques règles simples à retenir un peu comme 1/0 = ∞ et 1/∞=0 :

avec l réel DIFFERENT DE 0 !!

Toutes ces règles sont extrêmement logiques en y réfléchissant un peu. Tu n’es donc pas obligé de les apprendre par coeur, essaye plutôt de comprendre la logique de ces formules.

Limites en un point et signe de la limite

Tu as remarqué que parfois nous n’avons pas parlé du signe de la limite, nous avons laissé ∞ sans préciser + ou -.

En fait c’est comme pour un calcul normal, on applique la règle des signes !!

Exemple : on veut calculer

Ca devrait donner 1/0, et donc l’infini.
Oui mais + ou – ??
Et bien tout dépend si le 0 est positif ou négatif… mais on sait que le 0 n’est ni positif ni négatif !
Mais comment va-t-on faire ??

En fait, ce n’est pas vraiment 0, c’est le x qui tend vers 0. Tout dépend alors si le x tend vers 0 en venant des valeurs négatives ou positives :

On voit que le x peut tendre vers 0 de 2 manières : par valeurs négatives (en venant de la gauche) ou positives (en venant de la droite).
Il y a donc 2 cas à traiter, qui s’écrivent de la manière suivante :

et

On rajoute x > 0 si x tend vers 0 par valeurs positives, et x < 0 si x tend vers 0 par valeurs négatives.
On écrit également :

et

Cela revient au même, 0⁺ signifie x > 0, et 0^– signifie x < 0.

Et là on peut calculer :

car 1 et 0⁺ sont positifs

car 1 est positif et 0^– négatif, donc c’est négatif

Comme tu le vois il suffit d’appliquer la règle des signes !!
Evidemment il ne faut PAS écrire

sur la copie, ici c’est juste pour t’expliquer !!
Comme tout à l’heure tu donnes directement le résultat : +∞ ou -∞.
A noter que ceci est bien cohérent avec le graphique de la fonction inverse ci-dessus (heureusement !!).

Evidemment, on peut faire de même pour

ou

puisqu’à chaque fois le dénominateur vaudra 0.

Enfin une dernière remarque, cette histoire de 0⁺ et 0^– peut également s’appliquer à la limite elle-même.
Tout à l’heure, on a dit que :

En fait on pourrait aller plus loin en disant que

Cela nous permettrait de calculer :

et

Ceci est bien cohérent avec la courbe de la fonction inverse, puisqu’en -∞ la fonction est sous l’axe des abscisses, donc négative (d’où le 0^– ), alors qu’en +∞ la fonction est au-dessus de l’axe des abscisses, donc positive (d’où le 0⁺ )

Il est évident que ce n’est qu’avec l’entraînement que tout ceci te paraîtra simple, il y a beaucoup de nouvelles choses pour toi dans ce cours (et ce n’est pas fini !).

Forme indéterminée

C'est quoi une forme indéterminée ?

Bien souvent en math, lors du calcul d'une limite, vous obtiendrez comme résultat l'une des 7 formes indéterminées ci-dessus. Une telle solution n'est pas satisfaisante car elle en cache une autre. Pour découvrir la solution "cachée", il faudra utiliser un artifice de calcul pour lever l'indétermination et aboutir à un résultat final qui sera soit un nombre réel, soit zéro, soit plus l'infini (+), soit moins l'infini (-).

Il y a 7 cas d'indétermination dans le calcul des limites.

Les cas indéterminés sont: zéro divisé par zéro, infini divisé par infini, zéro multiplié par infini, infini moins infini, zéro exposant zéro, infini exposant zéro et un exposant infini.

Opérations mathématiques avec zéro et l'infini

k est une constante réelle non nulle et positive. En langage symbolique on écrit :

+  =	.  =	k +  =
/k =	k .  =	- -  = -
- .  = -	- . (-) =	k/ = 0
k0 = 1	0/k = 0	k/0 =
0k = 0	1k = 1	-k .  = -

Rappel d'algèbre

Identités remarquables, racine carrée et racine cubique, règle d'Horner, factorisation de polynômes, valeur absolue :

(A - B) . (A + B) = A² - B²

On dit que (A - B) est le binôme conjugué de (A + B)

(A²  AB + B²) . (A  B) = A³  B³

On dit que (A²  AB + B²) est le trinôme conjugué de (A  B)

(A  B)² = A²  2AB + B²

(A  B)³ = A³  3A²B + 3AB²  B³

 
La valeur absolue de x, , renvoie toujours un résultat positif.
Et ce quel que soit le signe de x.

Exemple :

,   
(= x pour tout x appartenant à l'ensemble des nombres réels).

Lever l'indétermination

Que faire si après avoir appliqué la règle de base ci-dessus vous obtenez une forme indéterminée ? Pour lever l'indétermination, vous devrez appliquer l'une des régles répertoriées dans le tableau ci-dessous. La règle que vous choisirez d'appliquer dépendra de la forme indéterminée que vous aurez obtenue.

	f(x) = g(x) / h(x)	x est contenu dans une racine	Équation trigonométrique
0/0	- Factoriser ou - Règle de l'Hospital (ou Hôpital) (Factorisation par division de polynome, par horner, ou par identité remarquable)	- Multiplier numérateur et dénominateur par le binôme ou trinôme conjugué ou - Règle de l'Hôpital	Ramener à la forme
	- Mettre le terme du plus haut degré en facteur ou - Règle de l'Hospital (ou Hôpital)	- Mettre le terme du plus haut degré en facteur et le sortir de la racine, ou - Règle de l'Hospital (ou Hôpital)	/
	- Mettre le terme du plus haut degré en facteur ou - Ramener au même dénominateur	Multiplier numérateur et dénominateur par le binôme ou trinôme conjugué	/
1	Ramener à la forme Exemples et formules (e = 2,718..., c'est la constante de Néper ou nombre exponentiel)	/	/

Ce tableau est un tableau à double entrée. La première colonne du tableau reprend les différents cas d'indéterminations possibles. Tandis que les trois colonnes suivantes reprennent les différents types d'équations possibles (équation avec quotient, racine, et équations trigonométriques).

Comment utiliser ce tableau ? Exemple :

Soit la fonction f(x) = (x² - 4) / (x - 2), on vous demande de calculer la limite de f(x) pour x tendant vers 2.

Pour résoudre cette limite nous allons d'abord remplacer x par 2 dans la fonction f(x) pour voir si nous obtenons un nombre réel, l'infini ou une forme indéterminée. Si le résultat obtenu est un nombre réel, + l'infini ou - l'infini, le calcul s'arrête là. Nous avons notre réponse finale. Par contre si le résultat obtenu est une forme indéterminée, nous utiliserons le tableau ci-dessus pour lever l'indétermination.

Il s'agit d'une forme indéterminée. Nous devons donc utiliser le tableau ci-dessus.

Comment entrer dans le tableau ?

Premièrement, de quel type de fonction s'agit-il ? S'agit-il d'un quotient f(x)/g(x), d'une racine, ou d'une fonction trigonométrique ? 

C'est un quotient : f(x)/g(x).

Deuxièmement, de quel cas d'indétermination s'agit-il ? S'agit-il de la forme indéterminée 0/0, infini/infini, infini - infini ou 1 exposant infini ? 

Nous avons la forme indéterminée 0/0.

Par conséquent, nous rentrons dans le tableu via la première colonne et la première rangée, ce qui détermine la première case du tableau. Et donc pour résoudre cette limite nous devrons soit factoriser soit utiliser la règle de l'Hôpital. Je vous propose de résoudre cet exemple par factorisation. Nous verrons l'Hôpital plus tard.

Factorisons le numérateur x² - 4 :

nous factorisons le numérateur de cette fraction à l'aide des identités remarquables,

= 2 + 2 
= 4

Remarque importante :

Notez que la fonction n'existe pas en x = 2. Donc f(2) n'existe pas. De fait, si vous tracez le graphique de cette fonction a l'aide de la calculatrice graphique en ligne, vous obtiendrez le graphe suivant :

Notez le trou en (2;4). Le point (2;4) n'appartient pas a la droite, la fonction n'est donc pas définie en x = 2. Néanmoins, nous pouvons dire qu'à mesure que nous nous rapprochons de x = 2, f(x) tend vers 4.

La Règle de l'Hospital : en 3 étapes

Soit f(x) = g(x) / h(x) et nous voulons calculer 1. Commencez par remplacer tous les x par la valeur a dans la fonction f(x). 2. Si vous obtenez 0/0 ou / alors dérivez le numérateur g(x), puis dérivez le dénominateur h(x) pour obtenir g'(x)/h'(x). Notez que la règle de l'Hospital peut se résumer par la formule suivante : Maintenant appliquez de nouveau le point 1. en remplaçant tous les x par la valeur a dans g'(x)/h'(x). Si vous obtenez un nombre réel, l'infini ou zéro, vous avez votre réponse, le calcul est terminé. Sinon passez au point 3. ... 3. ... si vous obtenez de nouveau 0/0 ou / alors il faut à nouveau dériver le numérateur et le dénominateur, puis remplacer tous les x par la valeur a, etc.  La règle de l'Hôpital peut s'appliquer plusieurs fois de suite, jusqu'à ce que vous obteniez une réponse différente de 0/0 ou de infini/infini.

multiplier par le binôme conjugué

Lorsque vous obtenez 0/0 dans le calcul de la limite d'une fonction racine carrée du type, par exemple, [(x+2)^0,5 / (x-2)], vous devez utiliser un artifice de calcul pour lever l'indéterminationet résoudre ainsi la limite en multipliant le dénominateur et le numérateur par le binôme conjugué.

Les identités remarquables suivantes doivent être maitrisées.

(A - B) . (A + B) = A² - B²

On dit que (A - B) est le binôme conjugué de (A + B)

(A²  AB + B²) . (A  B) = A³  B³

On dit que (A²  AB + B²) est le trinôme conjugué de (A  B)

(A  B)² = A²  2AB + B²

Terme du plus haut degré en facteur

Lorsque vous obtenez infini/infini dans le calcul de la limite d'une fonction en mathématiques, il se peut que vous deviez mettre le terme du plus haut degré en facteur pour lever l'indétermination.

Soit la fonction f(x) ci-dessous, on vous demande de calculer la limite de cette fonction pour x tendant vers l'infini.

Comme vous pouvez le constater, nous obtenons la forme indéterminée infini/infini. Nous pourrions lever l'indétermination avec la règle de l'Hôpital. Cependant ici je vous propose d'étudier une autre technique qui consiste à mettre en facteur le terme du plus haut degré au dénominateur ainsi qu'au numérateur.

Théorèmes de comparaison et des gendarmes

Les théorèmes de comparaison sont très simples car, comme beaucoup de choses avec les limites, c’est très logique !

On suppose que l’on a 2 fonctions f et g telles que :

On a alors :

Ce qui est normal, puisque g est plus grand que f qui tend +∞, et plus grand que +∞ c’est… +∞ !

De même :

Pour la même raison : puisque f est plus petit que g qui tend -∞, et plus petit que -∞ c’est… -∞ !

Le a peut être n’importe quoi, un réel comme +∞ ou -∞.

Dans le même ordre d’idée, il est possible de passer à la limite dans une inégalité :

alors

Et enfin, une dernière chose qui y ressemble : le théorème des gendarmes !
C’est très simple :

et si

alors

Ce qui est logique puisque f est compris entre h et g qui tendent tous les 2 vers k, donc il est un peu obligé de tendre vers k…

—
ATTENTION !! Il faut bien que h et g tendent vers la même limite…
—

Remarque : cela s’appelle le théorème des gendarmes car f est compris entre h et g comme si c’était un prisonnier encadré par 2 gendarmes… mais ça n’a aucune importance de savoir ça, c’est juste pour que tu saches d’où ça vient

Asymptotes

Il y a une dernière application importante des limites : les asymptotes.

Déjà, qu’est-ce-qu’une asymptote ?
C’est une droite vers laquelle tend une fonction, autrement dit la fonction va longer la droite dans une certaine zone.
Reprenons l’exemple de la fonction inverse :

On voit clairement qu’en 0, la courbe tend vers l’axe des ordonnées, qui est une droite d’équation x = 0.
Cette droite d’équation x = 0 est donc une asymptote.

De même en +∞ et en -∞, la courbe de 1/x tend vers l’axe des abscisses, qui est une droite horizontale d’équation y = 0.
Cette droite d’équation y = 0 est donc également une asymptote.

Il peut donc y avoir des asymptotes horizontales ou verticales, mais il peut aussi y avoir des asymptotes obliques !!

En -∞, on voit qu’il y a une asymptote horizontale d’équation y = -3.
Mais en +∞, il y a une asymptote OBLIQUE, d’équation y = 4x – 7. On voit bien en effet que la courbe f en bleu va longer la courbe verte et s’en rapprocher de plus en plus.

Bon c’est bien joli tout ça mais un graphique n’a jamais été une démonstration, il faut maintenant voir comment prouver mathématiquement qu’une droite est asymptote à une fonction.

Il y a alors 3 formules à connaître, une par type d’asymptote :

—————————————————————————————–

Asymptote horizontale

alors

On a évidemment la même propriété en -∞.

—————————————————————————————–

Asymptote verticale

alors

Le x₀ peut être n’importe quel réel mais pas +∞ ou -∞ !!

—————————————————————————————–

Asymptote oblique

alors

Là aussi on a la même propriété en -∞.

—————————————————————————————–

Avec l’habitude ces formules te sembleront évidentes, ce pourquoi l’entraînement est très important, comme pour toutes les prorpiétés que l’on a vu précédemment.
Ces exercices sur les asymptotes te permettront de te familiariser un peu plus avec cette dernière notion.

Compléter un tableau de variations

Ici nous n’introduirons pas de nouvelles formules rassure-toi 
Nous te signalons juste que les limites permettent de compléter les tableaux de variations.

Prenons par exemple le tableau de variation de f(x) = x² -4x + 3 :

Normalement tu as déjà l’habitude de compléter avec les valeurs comme ici le -1 car f(2) = -1.
Mais en +∞ et -∞ ?
Il ne faut bien sûr par mettre f(+∞) et f(-∞), ce n’est mathématiquement pas correct.
A la place, on va mettre… la limite de f en +∞ et -∞ !!

Or

et

Il ne reste plus qu’à compléter :

Voilà c’est tout, il n’y a aucune difficulté à ce niveau-là 

—
Une dernière remarque avant de clore le chapitre : une limite n’existe pas toujours !!
Prenons par exemple :

Et bien cette limite n’existe pas, il n’y a qu’à penser à la courbe de la fonction cosinus (en gros des vagues) pour voir que la fonction ne tend vers rien du tout.
—

Intérêt des limites

Comme on l’a vu, les théorèmes sur les limites sont simples car ils sont très logiques, on peut les retrouver facilement si on les a oubliés.

Au-delà des asymptotes ou du tableau de variation, les limites peuvent etre utiles pour regarder le comportement d’une fonction en un certain point ou en l’inifini.
Si on a un phénomène physique qui peut etre modélisé par une fonction, calculer des limites peut permettre d’analyser et de prévoir le comportement de cette fonction à une certaine période, ou dans une zone spécifique, etc…

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2016-09-04 15:53:01