Bissectrice d'un angle

1. Définition de la bissectrice d'un angle

La bissectrice d’un angle est la demi-droite passant par le sommet et qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

[OC) est la bissectrice de l’angle .

Codage

Pour indiquer l’égalité d’angles, on code la figure avec des signes identiques sur chaque angle.

Sur le schéma précédent, les traits bleus parallèles indiquent que les angles et ont la même mesure.

Remarque

La bissectrice d’un angle est un axe de symétrie de cet angle. B et B’ sont symétriques par rapport à la bissectrice (Ay).

Propriété : Si un point M appartient à la bissectrice d’un angle, alors M est à égale distance des côtés de cet angle.

On a MH = MH’

Réciproquement : Si un point M est à égale distance des côtés d’un angle, alors M appartient à la bissectrice de cet angle.

Remarque : De la propriété précédente, on en déduit que la bissectrice d’un angle est l’ensemble des points à égale distance de ses côtés.

2. Construction d'une bissectrice

2.1. Au rapporteur et à la règle

Exemple

Tracer la bissectrice [OC) de l’angle .

a) Première étape

On mesure l’angle au rapporteur.

b) Deuxième étape

La bissectrice [OC) étant la demi-droite partageant un angle en deux angles égaux, on a :

= = / 2 = 70/2 = 35.

c) Troisième étape

On trace un angle tel que :

= = 35.

[OC) est la bissectrice de .

2.2. Au compas

Exemple

Tracer la bissectrice [OE) de l’angle .

a) Première étape

On prend un écartement quelconque que l’on reporte sur chaque demi-droite [OA) et [OB). On appellera C et D les points d’intersection des arcs de cercle et des demi-droites.

b) Deuxième étape

En conservant le même écartement, on reporte cette longueur à partir du point C puis du point D.

L’intersection des deux arcs de cercle obtenus donne un point E.

c) Troisième étape

On trace la demi-droite [OE). [OE) est la bissectrice de l’angle .

Remarques

Cette construction se justifie par le fait que le quadrilatère ODEC est un losange (4 côtés égaux). Or les diagonales d’un losange sont aussi les bissectrices des angles concernés.
Cette construction a l’avantage de ne faire intervenir que les instruments de géométrie et ne nécessite aucun calcul.

3. Cercle inscrit

Propriété : Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours I est à égale distance d des trois côtés du triangle. Le cercle de centre I et de rayon d est appelé cercle inscrit au triangle.

Conséquence : les côtés du triangle sont tangents au cercle inscrit.

I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

Remarque : Pour obtenir le centre du cercle inscrit, il suffit de tracer deux bissectrices du triangle (il n’est pas nécessaire de tracer la 3ème bissectrice : les 2 premières détermineront le point d’intersection).

Cette propriété permet de tracer facilement le cercle inscrit à un triangle.

1^ère étape : on trace 2 bissectrices dans le triangle ABC. Leur point d’intersection est le point I.

2^ème étape : on trace la perpendiculaire à un des côtés du triangle passant par I. Elle coupe ce côté en H.

3^ème étape : on trace le cercle de centre I et de rayon IH, c’est-à-dire le cercle inscrit au triangle ABC.

2025-01-13 22:32:30 / mazoughou@magoe.gn