Une application est une sorte de fonction à laquelle on donne des nombres et qui en retourne d'autres.

Exemple
 (se lit : Fonction f qui à tout nombre x associe le nombre 2x+7. ) est une fonction. 
Quand on lui donne le nombre x elle retourne le nombre 2x+7. 
Si on lui donne 3 elle retourne 13 car 2×3+7=13. 
Si on lui donne 5 elle retourne 17.

Vocabulaire
On dit que 13 est l'image de 3 par f.
On note f(3)=13 (se lit : "f de 3 égal 13").
 

Utilité

Les fonctions sont très présentes dans la représentation et l'étude de tous les phénomènes qui évoluent (température au cours d'une journée...) et de ceux pour lesquels une variable dépend d'une autre (prix d'un article en fonction de l'offre et de la demande...) ainsi que dans toutes les sciences (sciences naturelles, astronomie, physique, chimie, médecine...). Les fonctions sont omniprésentes dans les maths au lycée.

Elles permettent en effet de relier deux grandeurs entre elles (population d'animaux en fonction de la population de leurs prédateurs, distance parcourue par une fusée en fonction du temps, aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté, luminosité d'une étoile en fonction de son âge, etc,...).

Représentation graphique d'une fonction

La représentation graphique d'une fonction est une courbe qui permet de visualiser comment la fonction agit sur les nombres. Voyons comment la tracer.
 

Méthode

• 1. On dessine un repère orthonormé (deux axes gradués perpendiculaires).
• 2. On choisit des valeurs de x comme on veut et on calcule les images f(x) correspondantes.
• 3. On place dans le repère les points de coordonnées (x;f(x)). Pour cela pour chaque x choisi on se positionne en x sur l'axe horizontal des abscisses et on place une petite croix à la hauteur f(x).
• 4. On relie ces points de manière harmonieuse.

Exemple

Représentation graphique de la fonction .

• 1.

  

• 2. Prenons les x de -2 à 2. On a f(-2)=4, f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4.
• 3.

  

• 4.

  
   

Antécédent

Un antécédent d'un nombre b par une fonction f est un nombre a tel que f(a)=b.

C'est le contraire de l'image: si l'image de 5 par f est 17 alors un antécédent de 17 par f est 5. 

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

Il y a deux méthodes pour trouver les antécédents d'un nombre par une fonction.

1. Par lecture graphique

Méthode

Pour trouver les antécédents d'un nombre a par une fonction f dont on connaît la représentation graphique:

• 1. On trace la droite d'équation y=a (la droite horizontale de hauteur a).
• 2. On place des points aux intersections de cette droite avec la courbe (on marque les points où la droite touche la courbe).
• 3. On lit les abscisses de ces points.
   

Exemple
Antécédents du nombre 2 par la fonction représentée par la courbe bleue.

Les antécédents de 2 sont -2,4 et 3.

2. Par le calcul

Pour trouver les antécédents d'un nombre a par une fonction f dont on connaît l'expression algébrique on résout l'équation f(x)=a.

Exemple
Pour trouver les antécédents de 100 par la fonction  on résout l'équation 2x+7=100. 
On trouve x=46,5. 
Le nombre 100 admet donc un seul antécédent par cette fonction et cet antécédent est 46,5.

Fonctions linéaires et affines

Vocabulaire

1. Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme . Par exemple les fonctions  et  sont des fonctions affines.

2. Pour une fonction affine, le nombre a s'appelle le coefficient directeur et le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine.

3. Une fonction linéaire est une fonction qui peut s'écrire sous la forme . Par exemple les fonctions  et  sont des fonctions linéaires. Les fonctions linéaires sont des fonctions affines pour lesquelles b=0.

Représentation graphique

La représentation graphique des fonctions affines et linéaires est toujours une droite. Dans le cas des fonctions linéaires cette droite passe par l'origine du repère et les images f(x) sont proportionnelles aux nombres x.

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine sur un graphique

Il est possible de lire le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine sur le graphique.