I. La translation

Définition

Lorsque l’on fait glisser la figure F₁​ sans la faire tourner, de manière à ce que A arrive en B,elle se superpose avec la figure F₂​.

On dit que la figure F₂​ est l’image de la figure F₁​ par la translation qui transforme A en B.

Image d’un point et d’un segment

Voici un triangle ABC et un point A’.

A’ se lit « A prime ». 

Comme on n’a pas le droit de placer deux points ayant le même nom, mais qu’on en a quand même besoin pour que l’énoncé reste clair, on utilise la notation A’ pour placer un « deuxième point A ».

Nous allons étudier la translation qui transforme A en A’.
C’est-à-dire que nous allons « faire glisser » ou « déplacer » le triangle ABC de telle sorte que le point A et le point A’ soient superposés :

A l’arrivée, nous pouvons tracer un triangle A’B’C’, qui est l’image de ABC par la translation qui transforme A en A’.

Nous verrons un peu plus bas comment réaliser cette translation avec la règle et le compas.

Contrairement à la symétrie, la figure n’est pas « retournée ».

Voici ce qu’aurait donné une symétrie axiale :

Propriété 1 :

L’image du point M, par la translation qui transforme A en B, est le point M’ tel queles segments [MB] et [AM’] ont le même milieu.

Si les points ne sont pas alignés alors ABM’M est un parallélogramme.

Propriété 2 :

L’image d’un segment par une translation est un segment qui lui est parallèle et de même longueur.

Exemple :

Dans la translation qui transforme A en B, le segment [MN] a pour image le segment [M’N’].

Donc les segments [MN] et [M’N’] sont parallèles et de même longueur.

La translation conserve les angles, les distances, les surfaces, les formes, le parallélisme, …

Ainsi, en particulier : 
Si les points A, B, C et D ont pour images A’, B’, C’ et D’ 
dans la translation de vecteur  ; alors, par exemple :

• 
• 
• L'image d'un triangle est un triangle
• Si 

Invariants
Un point A est invariant si son image A’ est lui-même ; c’est-à-dire A’ = A.

Propriété : 
Dans une translation de vecteur  ≠ 0, il n’y a aucun point invariant.

 

Les parallélogramme

Ce sont des quadrilatères dont les côtés opposés sont égaux et parallèles.

Voici la méthode pour terminer le tracé d’un parallélogramme une fois que 3 points ont été placés :

Au compas, on prend la longueur BA et on trace un arc de cercle de centre C…

…ensuite, on prend la longueur BC et on trace un arc de cercle de centre A…

…puis on relie le point obtenu à A et C, et on peut l’appeler D pour obtenir le parallélogramme ABCD.

Translation à la règle et au compas

Tout cela est bien beau, mais quel rapport avec la translation ?

Revenons sur la figure précédente : imaginez qu’au lieu de tracer un parallélogramme, on ait voulu construire l’image du point A par la translation qui transforme B en C…

Les deux déplacements sont de même longueur et dans la même direction, donc parallèles.
Donc pour tracer l’image d’un point par une translation, il suffit de savoir tracer un parallélogramme !

Voyons cela sur un autre exemple : plaçons deux points A et A’, un point B, et essayons de tracer l’image de B par la translation qui transforme A en A’ :

Au compas, on prend la distance AB, et on trace un arc de cercle de centre A’ : 

Ensuite, on prend la distance AA’, et on trace un arc de cercle de centre B :

On obtient le point B’, qui est bien l’image de B par la translation qui transforme A en A’.

Une fois que votre enfant sait tracer l’image d’un point par une translation, il peut s’entraîner à tracer l’image de plusieurs points pour obtenir des triangles, des quadrilatères…

On peut aussi translater un cercle (il suffit de translater son centre) ou une droite (il suffit de placer deux points sur cette droite et de les translater).

Puisque translater revient à tracer un parallélogramme, il existe d’autres méthodes pour réaliser des translations, notamment en traçant des droites parallèles.

Tout comme les symétries, les translations sont plus faciles à réaliser sur papier quadrillé : pas besoin de règle ou de compas, il suffit juste de compter les carreaux !

II. Symétrie

Symétrie centrale

C’est une symétrie par rapport à un point I.
Les points A et B sont symétriques par rapport au point I si I est le milieu de [AB].

Propriétés

La symétrie centrale conserve les angles, les distances, les surfaces, les formes, le parallélisme, …

Ainsi, en particulier : 
Si les points A, B, C et D ont pour images A’, B’, C’ et D’ dans la symétrie de centre I ; alors, par exemple :

• 
• 
• L'image d'un triangle est un triangle
• Si 

Invariants

Un point A est invariant si son image A’ est lui-même ; c’est-à-dire A’ = A.

Propriété : 
Dans une symétrie de centre I, seul le centre de symétrie, I est un point invariant.

Symétrie axiale ou réflexion

Il s’agit d’une symétrie par rapport à une droite    .

Les points A et B sont symétriques par rapport à la droite Δ si Δ est la médiatrice de [AB].
 

Propriétés

La symétrie axiale (ou réflexion) conserve les angles, les distances, les surfaces, les formes, le parallélisme, …

Ainsi, en particulier : 
Si les points A, B, C et D ont pour images A’, B’, C’ et D’ dans la réflexion d’axe Δ ; alors, par exemple :

• 
• 
• L'image d'un triangle est un triangle
• Si 

Invariants

Un point A est invariant si son image A’ est lui-même ; c’est-à-dire A’ = A.

Propriété : 
Dans une réflexion d’axe Δ , les points invariants sont les points de la droite Δ .

 

---

2016-07-21 23:06:23