I. Rotation

Définition :

Lorsque l’on fait tourner la figure F₁ autour du point O, d’un angle de mesure α, dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, elle se superpose avec la figure F₂​.On dit que la figure F₂​ est l’image de la figure F₁ par la rotation de centre O et d’angle α.

Remarque :

• Une rotation est définie par son centre O et un angle α.
• Le sens positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre. 
• Le sens négatif est celui des aiguilles d’une montre. 
• Dans tout ce chapitre, le sens de rotation sera toujours le sens trigonométrique (sens contraire du déplacement des aiguilles d’une montre).
• La rotation de centre O et d’angle 180° est la symétrie centrale de centre O.

Image d’un point

Propriété :

On considère O et A deux points distincts.

L’image du point A par la rotation de centre O et d’angle α est le point A’ tel que :

OA'=OA  et mes(AOA') =α.

Les propriétés de la translation et de la rotation

Propriété :

La translation et la rotation conservent les longueurs, l’alignement, les aires, les milieux et les mesures d’angle.

Un exemple de rotation

Voici un quadrilatère ABCD et un point O.

Intéressons-nous à l’image de ABCD par la rotation de centre O, d’angle 50° et de sens direct.

Cette transformation consiste à faire tourner le quadrilatère ABCD autour du point O, de 50°.

Vous vous demandez peut-être ce qu’est le sens direct : en mathématiques, « SENS DIRECT » SIGNIFIE « SENS INVERSE DES AIGUILLES D’UNE MONTRE ».

Nous pouvons nommer l’image A’B’C’D’.

A’ se lit « A prime ». 
Comme on n’a pas le droit de placer deux points ayant le même nom, mais qu’on en a quand même besoin pour que l’énoncé reste clair, on utilise la notation A’ pour placer un « deuxième point A ».

On remarque que tout comme la symétrie centrale vue en 5^ème, la rotation :

• conserve les longueurs (si on fait tourner un segment de 5 cm autour d’un point, son image mesurera aussi 5 cm)
• conserve les angles (si on fait tourner un angle de 47°, son image mesurera aussi 47°)

Elle conserve également les alignements et le parallélisme (deux droites parallèles le restent après une rotation).
D’ailleurs, la symétrie centrale est équivalente à une rotation d’angle 180° (angle plat).

Étudions maintenant l’image de ABCD par la rotation de centre O, d’angle 100° et de sens indirect.
Cette fois, nous allons faire tourner ABCD autour de O, dans le sens des aiguilles d’une montre (indirect).

Nous pouvons nommer l’image A’’B’’C’’D’’. A’’ se lit « A seconde ».

Voyons maintenant comment appliquer de telles rotations avec le rapporteur.

Rotation au rapporteur

Commençons par tracer l’image d’un point A par une rotation de 50° et de sens indirect autour d’un point O.

Tout comme lors d’une symétrie centrale, on commence par relier le point A au point O (inutile cependant de prolonger le segment).

Vient ensuite le moment de placer le rapporteur, et là il faut faire très attention !

• on place le rapporteur sur O, car c’est le centre de la rotation
• on remarque que la rotation est de sens indirect, c’est-à-dire le sens des aiguilles d’une montre.

Imaginons que [OA] serait l’aiguille d’une horloge dont O serait le centre, comment tournerait A ?

On place donc le rapporteur en alignant la graduation 0° avec [OA] de telle sorte que les autres graduations soient orientées dans le sens indirect.

En plus clair : ici, on place le rapporteur en-dessous de [OA].

Comme lorsqu’on veut tracer un angle, on place un point au niveau de la graduation 50°.
Attention : il y a deux graduations 50° ! Il faut suivre celle qui correspond au 0° qui a été aligné avec le segment [OA].

On trace ensuite une demi-droite d’origine O dans la direction de ce point.

Et pour terminer, avec le compas (c’est mieux que la règle graduée), on reporte la distance OA sur cette demi-droite, et on place le point A’.

L’angle ainsi formé mesure 50°.

 

Exemple de rotation: Un drapeau à agiter

Considérons ce « drapeau ».

Traçons l’image du drapeau par la rotation de centre O, d’angle 60° et de sens direct.
On commence par tracer [OA], [OB] et [OC] (D et E sont déjà reliés à O).

Avec le rapporteur, on forme plusieurs angles de 60° avec les segments [OA], [OB]…
Attention à bien les faire en plaçant le rapporteur sur O, en alignant la graduation 0° avec les segments et en plaçant le rapporteur du bon côté (ici, à gauche des segments).

On reporte ensuite les distances OA, OB… sur les demi-droites...

Et on relie les points !

II. Homothétie

Définition

Du grec 
homo : semblable 
thesis : position

L'homothétie est une transformation, comme la symétrie et la rotation. Elle permet d’agrandir ou de réduire des figures géométriques.

Exemple:

• La figure F₂​ est un agrandissement de rapport 3 de la figure F₁​.
• On dit que la figure F₂​ est l’image de la figure F₁​ par l’homothétie de centre O et de rapport 3.
• La figure F₁ est une réduction de la figure F₂​  de rapport 1/3.
• On dit que la figure F₁​ est l’image de la figure F₂​ par l’homothétie de centre O et de rapport 1/3​.

 

Soit    un point quelconque du plan ou de l’espace  et soit k un nombre réel non nul   .

On appelle homothétie de centre  et de rapport k et on note  la transformation qui à pour tout point  M du plan ou de l’espace associe le point M’. 

tel que 


Exemple
       


Remarques

       - Si   , alors, pour tout point M, on a   donc  M’=M

Tout point du plan ou de l’espace est invariant et l’homothétie  est l’application identique.
      - Si  , le centre  de l’homothétie est le seul point invariant. 
      - Si   , l’homothétie   est la symétrie de centre       
                        
                         
 

image d’un point

Définition:

L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k positifest le point M’ tel que :

• M’ appartient à la demi-droite [OM);
• OM′=k×OM

Exemples :

Construire l’image du point M par l’homothétie de rapport k = 2,5 puis k = 0,8.

Remarque :

Dans le cas où k=1, les images sont confondues avec les points de départs.

Dans le cas où k<0, par exemple k=−2,5, on construit l’image M₁​ de M

par l’homothétie de centre O et de rapport 2 puis on construit le symétrique M’ de M₁​

par rapport à O.

Image d’un segment

Propriété :

On considère A,B et O trois points du plan et k un nombre positif.Si les points A’ et B’ sont les images respectives des points A et B

par l’homothétie de centre O et de rapport k

alors :

• A'B'=k×AB
• (AB)//(A'B')

Démonstration :

Image d’un segment par une homothétie.

Par définition de l’homothétie de centre O et de rapport k, nous avons :

OA′=k×OA et OB′=k×OB donc OA'/OA = OB'/OB = k

Ainsi en utilisant la réciproque du théorème de Thalès, nous en déduisons

que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

Ensuite, nous pouvons appliquer la partie directe du théorème de thalès.

On sait que : .A∈(OA′), B∈(OB′), (AB)//(A′B′).

donc nous avons les égalités suivantes :

A′B′/AB ​= OA′/OA ​= OB′​/OB =k ainsi A′B′=k×AB .

Les propriétés des homothéties

Propriété :

L’homothétie conserve l’alignement, les milieux et la mesure des angles.

Propriété :

Dans une homothétie de rapport k positif :

• les longueurs sont multipliées par k;
• les aires sont multipliées par k².
• les volumes sont multipliés pa k³

Propriété :

On considère la figure F₂​ qui est l’image de la figure F₁​ par une homothétie de centre O et de rapport k.

• Si k>1 alors F₂​ est un agrandissement de F₁​ par cette homothétie;
• Si 02​ est une réduction deF₁​ par cette homothétie.

Exemple :

Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image du quadrilatère ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport k=2,5.

• Les points A,B,K sont alignés donc leurs images respectives A’,B’,K’ sont alignées;
• Le point J est le milieu de [BC] donc son image J’ est le milieu du segment [B’C’];
• L’angle A′D′C′ est l’image de l’angle ADC, ils ont donc la même mesure;
• Les longueurs sont multipliées par 2,5 ainsi B′C′=2,5×BC;
• Les aires sont multipliées par 2,5²=6,25 ainsi Aire_ABCD â€‹= 6,25×Aire_{A′B′C′D′}​.

 

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2016-07-21 23:07:03 / mazoughou@magoe.gn