Une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs.

L’ensemble des nombres relatifs est formé des nombres décimaux positifs (supérieurs à 0) et négatifs (inférieurs à 0).

On l’appelle somme algébrique car toute soustraction d’un nombre relatif peut être remplacée par l’addition de son opposé : 5−2​=5−(+2)=5+(−2)

Exemple

S=5+8,2+(−7)+6+(−9,3) est une somme algébrique.

E=(−7,2)+(+12)−(+13,4)−(−7)−(+4,5) est aussi une somme algébrique.

Calcul d’une somme algébrique

Il s’agit ici de calculer simplement une somme algébrique en regroupant les termes positifs d’un côté et les termes négatifs de l’autre.

Pour pouvoir déplacer des termes dans une somme algébrique, celle-ci ne doit contenir que des additions. La première étape sera donc de transformer les soustractions, s’il y a, en additions.

MÉTHODOLOGIE

Pour calculer une somme algébrique :

• on transforme les soustractions en additions en remplaçant les nombres relatifs soustraits par leurs opposés ;

• on regroupe les termes positifs d’un côté et les termes négatifs de l’autre ;

• on calcule les deux sommes séparément ;

• on termine le calcul.

Ce genre de calcul est long et peut donc vous amener à faire des erreurs à cause des nombreuses parenthèses et de tous les signes présents (ceux des additions/soustractions et ceux des nombres eux-mêmes). C’est pourquoi on cherchera à simplifier l’écriture d’une somme algébrique au maximum avant de la calculer.

Écriture simplifiée d’une somme algébrique

Nous allons voir ici comment il est possible de simplifier l’écriture d’une somme algébrique. On peut notamment supprimer les parenthèses autour des nombres relatifs ainsi que certains signes.

Convention d’écriture

Par convention, dans une somme de plusieurs nombres relatifs, on peut supprimer :

• les signes + de l’addition et les parenthèses des nombres relatifs ;
• le signe + du nombre en début de calcul s’il en a un.

Les nombres relatifs sont alors mis côte à côte et sont simplement séparés par leurs signes.

La convention s’appliquant à une somme de nombres relatifs, la première étape sera toujours de transformer les soustractions en additions, s’il y en a.

MÉTHODOLOGIE

• On transforme tout d’abord les soustractions en additions des nombres opposés.

• On simplifie la somme algébrique selon la convention énoncée ci-dessus.

• On effectue le calcul de gauche à droite (en regroupant éventuellement certains termes) ou bien on regroupe les termes de même signe puis on termine le calcul.

Ces exemples nous permettent d’aborder la règle des signes que nous allons voir maintenant.

Règle des signes

Si on analyse l’exemple ci-dessus, on constate que :

Cette règle permet elle aussi la simplification de l’écriture d’une somme algébrique, au même titre que la convention d’écriture. On n’oubliera pas de supprimer les parenthèses du nombre en début de calcul et son signe « + » si tel est le cas.

Conclusion :

La technique de calcul d’une somme algébrique doit être parfaitement connue car elle permet de bien comprendre la notion de signe d’un nombre relatif et de bien la différencier de celle des signes de l’addition et de la soustraction.

Dans la pratique, il faudra également connaître la convention d’écriture et la règle des signes qui permettent de simplifier l’écriture d’une somme algébrique afin de calculer plus facilement.